10 一道对数函数题目的变式探究-2019年10月刊高一数学《中学生数理化》

中学生理化細用知织给与拓厚 变式2:已知函数f(x)=|log3x|,正实 数a,b满足a<b,且f(a)=f(b),若函数 -遒对数函数题的 f(x)在区间[2,b]上的最大值为2,则a° 变式播究 提示:由于函数f(x)=|log3x|,正实数 a,b满足a<b,且f(a)=f(b),所以0<a 胡磊魏伟 1<b,可得-log3a=log3b,即b 易知 所以函数f(x)在区间[a2,1 题目已知函数f(x)=lnx1,若存在上单调递减,在区间[1,b]上单调递增,可知 两个互不相等的实数a,b,满足f(a) 当x∈[a2,b时,函数f(x)在x=a2处取得 f(b),则ab 最大值。由f(a2)=| logs a2|=2| logs a|,可 分析:设a<b,由函数 得f(a2)=2|loga|=-2loga=2,解得a= 绝对值,即可求解。 从而可得b 3。故a° 解:由函数f(x 变式3:已知函数f(x)=|lg3(x+1),实 可作出此函数的图像,如 数m,n满足-1<m<n,且f(m)=f(n),若 图1所 f(x)在[m2,n上的最大值为2,则 C.-9 .—12 提示:结合函数f(x)=|log3(x+1)|的 图像(图略)求解。由f(x)=|log3(x+1)|, 且f(m)=f(n),可得(m+1)(n+1)=1。 图1 若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2(f(x) 由图像可知,若存在两个互不相等的实在[m2,n]上单调递增),则log3(n+1)=2 数a,b,满足f(a)=f(b),设a<b,则0<a <1,b>1,可得-lna=lnb,即lna+lnb 可得n=8,从而可得m 0,也即lnab=0,故ab=1 评析:解答本题需要画出函数的图像,根 变式4:已知函数f(x)=|g(x-2)|, 据图像以及对数函数的性质可直观求解 若存在互不相等的实数a,b,使得f(a) 变式1:已知函数f(x)=|ogx|,正实数 f(b),则a 的最小值为 m,n满足m≤n,且f(m)=f(n),若f(x)在区 m3,n]上的最大值为5,求m,n的值 提示:若存在互不相等的实数a,b,使得 提示:由f(m)=f(n),根据上面题目可f(a)=f(b),则g(a-2)|=1g(b-2) 即lg(a-2)+lg(b-2)=0,可得(a-2)(b 得 因为正实数m,n满足 所 以0<m<1<n,可得0<m≤m<1<n。结 合对数函数的图像可知函数f(x)=|log4x 由a>2,可知当 在区间[m5,n]上的最大值为f(m25) log4m5|=5,解得m 取得最小值为 注意:解答本题的关键是确定函数在区 作者单位:山东省平邑县第一中学西校 间Lm5,n]上的最大值是f(m5) (责任编辑郭正华) 16