14 函数综合应用中误区警示-2019年10月刊高一数学《中学生数理化》

解题用柳中学生数理化 野综应用中的误区謦示 刘大鸣(特级教师 本文汇集了函数综合应用中的误区警故f(2011)=f(4×502+3)=f(3)=0。 示,希望引起同学们的高度重视 剖析:上述解法对局部对应法则∫(x) 误区1:二元变量求最值(或值域),忽视(x-1)-f(x-2)(x>0)探究不彻底 变量的制约关系 正解:由∫(x)=f(x-1)-f(x-2) 例1若实数x,y满足3x2+2y2=6x,(x>0),利用变量的任意性可 求x2+y2的最大值 f(x)-f(x-1),利用方程组观念可得 错解:由已知可得y2 f(x+1)=-f(x-2),即f(x)=-f(x 3),可得f(x+3)=-f(x),则f(x+6 f(x+3)=f(x),即当x≥-1,x∈Z时 函数值重复出现。 可知当x=3时,x2+y2取得最大值为2 由已知得f(-1)=log2=1,f(0)=0, 剖析:上述解法忽视了约東条件3x2+ f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1) 2y2=6x中对x的限制作用 f(3)-f(2)=1,f(5)=f(4)-f(3) 正解:由y2 2x+3x≥0,可得0≤ f(6)=f(5)-f(4)=0 2,所以 由函数f(x)在当x 1,x∈Z时, f(x+6)=f(x),可得f(2011)=f(6×335 +1)=f(1)=-1。 警示:分段函数的求值要运用对应法则 2,x∈[0,2]。故当x=2时,x2+y2取合理选择解析式,对区间上对应法则的探究 得最大值为4。 要彻底。题中由f(x)=∫(x-1)-f(x 警示:解题时,一定要挖掘隐含条件,即2)(x>0),探究出f(x+6)=f(x)是解题的 一个变量对另一个变量的限制作用。如题中关键。 误区3:求函数零点的方法选择不当 +3x≥0,得0≤x≤2 例3判断函数f(x)=|2x|-3在区间 误区2:分段函数中对区间上对应法则 1,1内是否有零点 探究不彻底 错解:由f(-1)=f(1) 1,可得 例2定义在R上的函数f(x),满足函(-1)·f(1)=1>0,则函数f(x)=|2x 3在区间[-1,1内没有零点 数f(x) f(x-1)-f(x-2),x>0 剖析:上述解法在利用函数零点存在性 定理时,忽视了其前提条件 错解:由已知得f( 正解1:当x∈[-1,1时,f(x)=|2 f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2) 3≤-1,函数y=f(x)在[-1,1]上的图 f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1) 像与x轴没有交点,即函数f(x)=|2x|-3 1-(-1)=0,由此可得f(x+4)=f(x),在区间[-1,1]内没有零点。 中学生理化用影错年类部 正解2:由2x|-3=0,可得x=±2 直线y=k—x的交点的横坐标,作出其图 像,如图1所示。 -1,1],故函数f(x)=|2x|-3在区间 1,1内没有零点 警示:判断函数的零点个数,可利用零点 存在性定理进行判断,当用零点存在性定理 无法判断时,可画出图像进行判断 误区4:由函数零点求参数的范围时忽 视分类讨论 图1 例4函数f(x)=a2-x-a(a>0且 由图像及指数函数图像的分布规律,可 a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是知m>n 警示:特殊值法是最优解法。设参数化 错解:所求问题可转化为函数y=a归为同一直线与两个指数函数图像交点的横 (a>0且a≠1)与y=x+a的图像有两个交坐标问题求解,凸显函数与方程、数形结合思 点问题。画出两个函数的图像(图略),根据 想的应用。 图像可知,a 误区6:构建指数函数增长率模型出错 剖析:上述解法在求两个函数图像的交 例6某工厂改进了设备,在两年内生 点时,忽视了对0<a<1的讨论 产的月增长率都是m,则这两年内第二年3 正解:函数f(x)=a2-x-a(a>0且 月份的产值比第一年3月份的产值的增长率 a≠1)有两个零点,也就是函数y=a(a>0 是多少? 且a≠1)与y=x+a的图像有两个交点。画 错解:设第一年3月份的产值为a,则第 出其图像(图略),由图像可知,当0≤a<1 年3月份的产值是a(1+m),可得所求 于,两个函数只有一个交点,不符合题意;当 a>1时,函数y=ax(a>1)的图像过点(0, 增长率为 =(1+m) 1(或 1),而直线y=x+a所过的点在点(0,1)的把第二年3月份的产值写为a(1+m)1出 上方,这时一定有两个交点。综上可知,实数错)。 a的取值范围是a>1 剖析:上述解法对增长率公式y 警示:求函数的零点问题,可化归为两个N(1+p)的理解错 函数图像的交点问题,利用数形结合法求 正解:设第一年3月份的产值为a,则4 误区5:函数的零点的大小比较中忽视