15 函数新题赏析-2019年10月刊高一数学《中学生数理化》

解题篇·创新题追根溯源 高一使用2019年10月 中学生教理化 函数新趣置机 刘长柏 在近几年高考中,相继出现了一些以考 x,x∈[4,16]的是( 查同学们探究能力和创新能力为目的的创新 题。本文精选一些以函数为背景的创新题 A.g(x)=÷(x+6),x∈[4,16 型,并分类解析,旨在探索解题规律,供同学 B.g(x)=x+16,x∈[4,16] 们学习与参考 C.g(x)=x+6,x∈[4,16] 创新函数新定义 D.g(x)=2x+6,x∈[4,16 创新函数新定义问题是高考的 解:由题意可知,f(x)=/x,x∈[4,16 点,它能有效地考查同学们独立获取信息、加能被g(x)替代,即当x∈[4,16]时,总有不 工信息以及应用信息解决问题的能力。 f( x)-g(x 等式 例1设函数f(x)的定义域为R,若存 f(x ≤,成立。当x=4时 在常数M>0,使f(x)≤M|x对一切实数(4)=2,对四个选项依次代入g(4)进行验 x均成立,则称∫(x)为“倍约束函数”。现给证,只有A满足要求。应选A 出下列函数:①f(x)=2x;②f(x)=x2+1 评析:此题通过创新定义“f(x)可被 ③f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且对g(x)替代”来考查函数的特定性质,这就要 切x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1 求对所定义的性质应理解其含义。 x2|。其中是“倍约束函数”的是(写出 三、创新拓展常规题,考查发散思维能力 所有正确命题的序号) 发散性思维虽然也遵循已有的规律,但 解:①由于f(x)=2x,显然只需常数 它的思维过程无固定方向或范围,体现为探 2即可,所以它是“倍约束函数”。②由于索途径及结果的新颖性、多样性和独创性 Mx|≥0,|f(x)|≥1,且当x=0时,f(0 例3已知函数f(x)=|x+1|+ 1,故此时不可能存在常数M符合题目要 +2+…+x+2011+x-1+ 求,可知f(x)=x2+1不是“倍约束函数”。 1x-2|+…+|x-2011(x∈R),且f(a2 ③由f(x)是R上的奇函数,可知f(0)=0, 3a+2)=f(a-1),则满足条件的所有整 令x2=0,x1=x,则原式为|f(x)≤2|x|, 数a的和是 故存在常数M使之符合定义。答案为①③。 解:根据函数f(x)的解析式,可知f(x) 评析:求解此类问题要从两个方面考虑 为偶函数。由f(a2-3a+2)=f(a-1),可 一是充分理解和掌握新定义所具有的性质 得 1或 并注意审题;二是对新定义的性质注意掌握整理得a2-4a+3=0或a2-2a+1=0,由 和灵活应用。 此解得a=1或a=3。又f(0)=f(1) 创新函数新性质 f(-1),所以当a=2时,也满足要求。故符 创新函数新性质问题是利用给定的定义与合f(a2-3a+2)=f(a-1)的所有整数a 性质来处理问题,通过创新函数新性质,结合相的和为1+2+3=6。 应的数学知识来解决有关的函数性质问题。 评析:在数学题中,有些问题的条件、结 论、解题策略是不唯一的或需要探索的(如开 g(x),x∈[a,b],若对于任意的x∈[a,b],放性问题),这类问题能有效考查同学们的思 维能力。 总有 则称∫(x)可被 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 g(x)替代。下面给出的函数中,能替代f(x) (责任编辑郭正华)