16 函数应用中的创新问题-2019年10月刊高一数学《中学生数理化》

中学生数理化 解题篇·创新题追根溯源 高一使用2019年10月 恿数应用中的岜廚间题 傅红玲陈立明 本文对函数应用中的创新问题的求解方区间[m,4]上的值域为[-1,2],则实数m 法进行归纳总结,希望对同学们求解创新问的取值范围为 题有所帮助与启迪。 解:由函数的值域探究其定义域,可利用 创新1:函数最大值与最小值之和中的数形结合法切入。作出函数f(x)的图像,如 整体思维 图1所示。 例1已知函数f(x)=In(x+ /xx+1)+3c+1,x∈[-k,k](k>0)的最 大值和最小值分别是M和m,则M+m 解:利用指数作为变量的分式函数和对 图 数的复合函数,研究奇偶性和单调性确定其 当x≤-1时,函数f(x)=log2 最值。由g(x 单调递减,且最小值为f(—1) k:,可知k(x)为增函数,而可得()1(一2)=2,解得x=-8;当x>-1时 ≤g(x)≤g(k),g(-k)+g(k) +(3 函数f(x) g(x)关于点(0,2)对称,而由h(x)=1n(x+单调递增,在[2,+∞)上单调递减,其最大值 x2+1),x∈[-k,k](k>0),可知h(x)为为2,且f( 奇函数且为增函数,可得h(-k)≤h(x)≤ 结合函数图像可得所求实数m的取值 h(k),且h(—k)+h(k)=0。故M+n 范围为[—8,-1] 数的对称性、单调性以及树立整体思维的意居參器尝(丧 f(k)+f(-k)=g(k)+h(k)+g(-k) 升华:由函数值域探究其定义域系逆向 h(一k)=g(-k)+g(k)+h(一k)+h(k) 思维,利用定义域到值域唯一的对应关系,借 (一k)+g(k)=4 助函数图像和特殊函数值处的自变量的取 升华:本题实质上是求递增的奇函数与 值,以形助 和运动变化的观念是探究其定 递增的中心对称函数构成的复合函数在对称 义域的关 区间上的最大值与最小值的和。研究两个函 自变量与函数值求和中的整体 识是求解的关键。 创新2:由函数的值域探究其定义域 例3已知函数f(x)=3x+2017 分段函数f(x) g(x)对任意的x∈R,都有g(2018-2.x)= 3-g(2x-2013)成立,y=f(x)与y 若函数f(x)在g(x)的图像有m个交点(x1,y1),(x2,y2) ),则∑(x;+y) 解题篇·创新题追根溯源 高一使用2019年10月 中学生数理化 解:探究两个函数的对称中心是解题的 人点。由题设g(2018-2x)=3 g(2x-2013),令t=2x-2013.则2018 [1,2]上恒成立 g(t),可知 令1=2-2…,则∈2·4,可得 y=g(x)的对称中心为 。由f(x)= 故上述不等式可转化为3a≥ 20173 可知y=f(x)的对 +-),可知函数s(t) +2)在 2x-5 称中心为 据此可知y=f(x)与 ,上单调递减,当t=2时,s(t)取得 y=g(x)的图像有m个交点(x1,y1) 最大值为-6。由此可得a≥-18·即a∈ (x2,y2)…,(xn,yn)关于点 中心对 称,所以x1+xm=x2+xm-2=x3+xm-3= 升华:利用奇偶性构建方程组,求待定解 1+xm=M,则xm+ 析式是本题的一个创新;把函数不等式问题 xn1+…+x2+x1=M,两式相加可得合理转化为含指数变量的不等式恒成立问题 (x1+xm)+(x2+xm-2)+ 是本题的又一个创新。本题的解题过程凸显 (xm-1+x2)+(xm+x1)=2M=5m,即M 函数不等式中的合理转化思想 创新5:新定义的图像交点问题 分别是函数y=f 同理可得,y1+y2 与y=g(x)的图像上的点,且线段AB的中 点恰好为原点O(0,0),则称A,B为两个函 2m。故2(x+y)=x1+x2+…+xm 数的一对“孪生点”。若函数f(x)=lg|x y+y2+…+ym=2m+2m=4m g(x)=2,则这两个函数的“孪生点”共 有( 升华:利用换元法探究函数图像的对称 中心是本题的一个创新;求两个函数交点的 自变量与函数值的和,探究两个函数的同 对称中心,利用整体思维的意识简化求解是 解:由题意可知“孪生点”为y=f(x)与 本题的又一个创新。 y=g(x)的交点且交点关于原点对称,因此 也就是求y=f(x)与y=-g(-x)的交点 创新4:函数不等式中的合理转化 例4已知函数(x)=2且(x)=个数。由x(x)=2,得-g(-x)=-2 g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为 与y=lgx|的图 偶函数,若不等式3ag(x)+h(2x)≥0对任 像,如图2所示。 意的x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围 是 解:由已知得g(x)十h(x)=2,注意 g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,则g(-x