17 函数应用常见典型考题赏析-2019年10月刊高一数学《中学生数理化》

解月角经除方中学生数理化 函数的应用常见典型老题堂析 张文伟 题型一:二分法求函数零点 例2函数f(x)=ln(x+1) 的零 二分法只适用于变号零点,二分法是求 方程的根的近似值的一种方法。其记忆口诀点所在的大致区间是( 是:定区间,找中点,中值计算两边看,同号 A.(0,1) B.(1,2) 去,异号算,零点落在异号间,周而复始怎么 D.(3,4) 办,精确度上来判断 解:因为f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3 例1用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+ 1>0,所以由零点存在性定理可得零点所 x-1在区间[0,1上的零点,要求精确度为0.01在的大致区间是(1,2)。应选B 时,所需二分区间的次数最少为() 跟踪训练2:设f(x)=lnx+x-2.则函 A.5 B.6 数f(x)的零点所在的区间为()。 D.8 A.(0,1) B.(1,2) 解:开区间(0,1)的长度等于1,每经过 C.(2,3) D.(3,4) 次操作,区间长度变为原来的一半,经过n 提示:(方法1)因为f(1)=0+1-2= 1<0,f(2)=ln2+2-2=ln2>0,所以函 次操作后,区间长度变为 2。因为用二分法数f(x)的零点所在区间为(1,2)。应选B。 求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间[0, (方法2)函数∫(x)的零点所在的区间可 1]上的近似解要求精确度为0.01、前转化为函数g(x)=1nx与h(x 的图像交点的横坐标 0.01,解得n≥7。应选C。 所在的取值范围。作 跟踪训练1:用二分法求图像连续不断出两个函数的图像,如 的函数f(x)在(1,5)上的近似解(精确度为 图1所示。 0.1),求解的部分过程如下:f(1)·f(5)<0 由图1可知,函数 1+ 取(1,5)的中点x123,计算得f(1)·f(x)的零点所在的区 间为(1,2)。应选B。 f(x1)<0,f(x1)·f(5)>0,则此时能判断 函数f(x)一定有零点的区间为 题型三:判断函数零点的个数 提示:因为f(x)为图像连续不断的函 判断函数零点个数的三种方法:(1)方程 数,且f(1)·f(3)<0,所以函数f(x)在区 法:令∫(x)=0,如果能求出解,则有几个解 间(1,3)内一定有零点 就有几个零点。(2)零点存在性定理法:利用 题型二:函数零点所在区间的判断 定理不仅要求函数在区间[,b]上是连续不 确定函数∫(x)的零点所在区间的两种 断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合 常用方法:(1)定义法:使用零点存在性定理 函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期 函数y=f(x)必须在区间[a,b上是连续性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零 的,当f(a)·f(b)<0时,函数在区间(a,b)点所具有的性质。(3)数形结合法:转化为两 内至少有一个零点。(2)图像法:若一个函数 个函数图像的交点个数问题,先画出两个函 (或方程)由两个初等函数的和(或差)构成,数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐 则可考虑用图像法求解,如f(x)=g(x) 标有几个不同的值,就有几个不同的零点。 h(x),作出y=g(x)和y=h(x)的图像,其 例3函数f(x) 2|-1nx在定 图像交点的横坐标即为函数f(x)的零点 义域内的零点的个数为() 中学生理化用经率方 例4已知在区间(0,21上的函数f(x) 3,x∈(0,1 解:由题意可知f(x)的定义域为(0 ∞)。在同一直角坐标系中画出函数y= x-2|(x>0)和 mx在区间(0,2]上有且仅有2个不同的零 v=x-2|(x>0 y=lnx(x>0)的图 点,则实数m的取值范围是( 像,如图2所示 由图2可知,函 数f(x)在定义域 内的零点个数为2。 图2 应选C。 跟踪训练3:已知分段函数f(x) (e为自然对数的底数),则 解:数g(x)=f(x)-mx在(0,2]上 x2+5x+4,x<0 有且仅有2个不同的 函数y=f[f(x)]-f(x)的零点个数 零点,即函数 为( 2]上的图像有且仅有 D.5 提示:令=f(x),对函数y=/f(x)12个不同的交点。作 出函数y=f(x)与 f(x)求零点。由f(u)-t=0,可得 y=mx的图像,如图 解3所示 图3 f(u)=u,所以 得=e或u=-2 当函数y=mx与y=-3在(0,1]上 相切时,由mx2+3x 0,可得△=9+4m 当=e时,由f(x)=e,可得 0,即m= 故结合图像可得,当 易得共有3个解;当 x2+5x+4=e, <m≤-2或0<m≤时,函数g(x)= x≥0, 时,由f(x) e=-线f(x)-mx在(0,2]内有且仅有2个不同的 零点。应选A 跟踪训练4:已知函数f(x) 易得共有2个解