18 函数的奇偶性高考题赏析-2019年10月刊高一数学《中学生数理化》

解题篇·经典题突破方法 高一使用2019年10月 中学生数理化 画豐的奇偶性高考题赏新 ■田发胜 奇偶性是函数的重要性质之一,在研究得lna=0,即a=1 网数有关问题时,有着举足轻重的作用。因 评析:判断函数f(x)的奇偶性,一般是 此,函数的奇偶性在高考中成为命题的热点 利用定义,验证f(x)与f(-x)的关系,也可 下面以高考题为例,说明函数奇偶性的常见以利用特殊值加以验证 考查方式,并给予评析,帮助同学们更好地理 二、利用函数的奇偶性求函数的值 解函数的奇偶性,运用函数的奇偶性解题。 例4已知定义在R上的奇函数f(x) 判断函数的奇偶性 和偶函数g(x),满足f(x)+g(x)=a2 例1下列函数中,既不是奇函数,也不a-+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则 是偶函数的是()。 f(2)= 解:由f(2)+g(2) f(-2)+g(-2)=a-2-a2+2,再由函数的 D.y=/1+x 奇偶性可得-f(2)+g(2)=a2-a2+2。 解:记f(x)=x+e2,则f(1)=1+e,由此解得g(2)=2,f(2)=a2-a2,所以a 1)=-1+e-1,可知f(-1)≠f(1),2,f(2)=22-2-215 f(-1)≠-f(1),所以y=x+e既不是奇 函数也不是偶函数。依题意可知B,C,D依 评析:利用奇偶性求函数的值,不需要求 次是奇函数,偶函数,偶函数。故选A 出相应的解析式,而要抓住自变量是相反数 例2设函数f(x),g(x)的定义域都为 时函数值的关系,灵活处理 R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列 三、利用函数的奇偶性及单调性解不等 结论正确的是 式或比较大小 A.f(x)g(x)是偶函数 例5已知偶函数f(x)在[0,+∞)上 B.f(x)|g(x)是奇函数 单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的 C.f(x)g(x)是奇函数 取值范围是 D.|f(x)g(x)|是奇函数 解:由∫(x)是偶函数,且f 解:设F(x)=f(x)|g(x)|,则F(-x 可得f(x-1)>0=f(2)。由f(x)在[0, 十∞)上单调递减,可得x-1<2,解得 由f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,可得 F(-x) f(x)·|g(x) F(x),即 评析:利用函数的奇偶性解不等式,一般 F(x)为奇函数。应选C。 是把不等式变为相应函数值的大小比较问 例3若函数∫(x)=xln(x+a+x)题,再利用其单调性求解。特别地,若函数 为偶函数,则a= f(x)是偶函数,要注意应用性质f(x)= 解:由函数f(x)=xln(x+a+x2)为f(|x1),可简化运算。 例6已知奇函数f(x)在R上是增函数 偶函数,可得g(x)=ln(x+/a+x2)为奇 g(x)=xf(x), a=g(log,5.1),b=g(2 函数,则满足g(0)=ln/a=0,即a=1 c=g(3),则a,b,c的大小关系为() 或者,由ln(x+/a+x2)+ln(-x Aa<b<c +(-x)2)=0(g(x)+g(-x)=0),可 Db<< 中学生数理化 解题篇·经典题突破方法 高一使用2019年10月 解:因为∫(x)是奇函数且在R上是增点对称,其最值也关于坐标原点对称,则可求 函数,所以当x>0时,f(x)>0,从而g(x)出结果。 xf(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上 利用函数的奇偶性与周期性,解决函 是增函数。由题意得a=g(-log25.1) 数的综合问题 g(log <2,4<5.1<8,所以 例9已知f(x)是定义在R上的偶函 2<1og25.1<3,所以0<20<log25.1<3 数,且以2为周期,则“f(x)在[0,1]上为增 故g(28)<g(log25.1)<g(3),即b<函数”是“f(x)在[3,4]上为减函数” C。应选C 的( 评析:指数式、对数式的比较大小,要结 A.既不充分也不必要的条件 合指数函数、对数函数,借助指数函数和对数 B.充分而不必要的条件 函数的图像,利用函数的单调性比较大小 C.必要而不充分的条件 需要注意的是灵活利用函数的奇偶性、单调 D.充要条件 性和数形结合方法是解答这类问题的关键。 解:因为f(x)为偶函数,f(x)在[0,1 四、利用函数的奇偶性解决图像问题 上是增函数,所以f(x)在[-1,0上为减函 例7函数f(x) 的图像大致 数。又因为函数f(x)的周期是4,所以在区 间[3,4]上也为减函数。由f(x)在区间[3 4]上为减函数,根据函数的周期性可知f(x) 在[-1,0]上为减函数,由函数f(x)为偶函 数,根据对称性可知f(x)在[0,1]上为增函 数。综上可知,“f(x)在[0,1]上为增函数” 是“f(x)在[3,4上为减函数”