03 例说三角函数与其他知识的交汇-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

■河南省平舆县第一高级中学 裴继东 近几年全国各地高考试题逐渐强调考查 创新意识和应用意识,强调理论与实践相统 一。一些新颖的试题背景、试题类型在近几 年的试卷中从无到有,从零星到常见,从粗糙 到精致,这些变化都体现了高考命题在有意 识地将新课程的理念落实到高考试题中去。 一、三角函数与平面向量交汇 例1 已知a=(53cos x,cos x),b= (sin x,2cos x),设函数f(x)=a·b+|b|2 + 3 2 。 (1)当x∈ π6 ,π 2 时,求函数f(x)的 值域; (2)当x∈ π6 ,π 2 时,若f(x)=8,求函 数f x- π 12 的值; (3)将函数y=f(x)的图像向右平移 π 12 个单位,再将得到的图像上各点的纵坐标向 下平移5个单位,得到函数y=g(x)的图像, 求函数g(x)的表达式并判断奇偶性。 分析:第(1)(2)小题将f(x)化为y= Asin(ωx+φ)+b(ω>0,A>0)的形式后,再 求函数的值域;第(3)小题要得到函数y= g(x)的解析式可通过函数y=f(x)的图像 平移变换得出,再根据定义判断函数y= g(x)的奇偶性即可。 解:(1)f(x)=53sin xcos x+2cos2x +4cos2x+sin2x+ 3 2=53sin x·cos x+ 5cos2x+ 5 2=5sin2x+ π 6 +5。由π6≤x≤ π 2 ,得 π 2 ≤2x + π 6 ≤ 7π 6 ,所 以 - 1 2 ≤ sin2x+ π 6 ≤1,所 以 f (x)的 值 域 为 5 2 ,10 。 (2)f(x)=5sin2x+ π 6 +5=8,则 sin2x+ π 6 =35,由 π6 ≤x≤ π2,得 π2 ≤ 2x+ π 6≤ 7π 6 ,所以cos2x+ π 6 =-45。 所 以 f x- π 12 =5sin 2x +5 = 5sin 2x+ π 6 -π6 +5=332 +7。 (3)f(x)=5sin2x+ π 6 +5→g(x)= 5sin2x- π 12 +π6 +5-5=5sin 2x。 又g(-x)=5sin(-2x)=-5sin 2x= -g(x),故g(x)为奇函数。 点评:本题中剥去平面向量的外衣,实际 上是考查三角函数的有关性质、三角恒等变 换等知识,同时还考查了函数图像的平移变 换,要 判 断 函 数 的 奇 偶 性 常 常 是 根 据 定 义 进行。 二、三角函数与平面几何交汇 例2 已知函数y=Asin(2x+θ),其 中A≠0,θ∈ 0, π 2 。 (1)若 函 数 f (x)的 图 像 过 点 E - π 12 ,1 ,F π6,3 ,求函数f(x)的解 析式; (2)如图1,M、N 是函数y=f(x)的图 图1 像在y 轴两侧与x 轴的两个 相邻交点,函数图像上的点 Pt, 3π 8 ,满足PN→·MN→= π2 16 ,求函数f(x)的最大值。 分析:(1)由函数f(x)的图像过两点,列 方程组,求出函数f(x)的解析式;(2)结合平 面几何知识先求出点 M、N 的坐标,再由平 面向量的数量积求出A 的值。 01 解题篇 创新题追根溯源 高考使用 2019年10月 解:(1) 由 Asin - π 6+θ =1, Asin π3+θ = 3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 sin π3+θ = 3sin -π6+θ ,展开整理可 得tan θ= 3。因为θ∈ 0, π 2 ,所以θ=π3。 f(x)=Asin2x+ π 3 ,由f π6 = 3, 可得A=2,所以f(x)=2sin2x+ π 3 。 (2)过点 P 作PC 垂直x 轴于点C,令 f(x)=Asin(2x+θ)=0,则2x+θ=kπ,k∈ Z。因为 M、N 两点分别位于y 轴的两侧,所 以 M - θ 2 ,0 ,N π2-θ2,0 ,|MN→|=π2。 PN→·MN→=|PN→||MN→|cos∠PNM= π 2|PN →|cos∠PNM=π2|NC →|=π 2 16 。 所以|NC→|=π8,|MC →|=|MN→|-|NC→| = 3π 8 ,即θ 2+t= 3π 8 ,θ+2t= 3π 4 ,Asin(θ+2t) =Asin 3π 4= 3π 8 ,所以A= 6π 8 。 点评:三角函数与平面几何结合是近几 年出现的热点,此类试题常常要由已知条件 求图像中的有关点的坐标。根据三角函数图 像的周期、与x 轴的交点和三角形中的边角 关系求解点的坐标。本题第(1)小题已知两 点求函数f(x)的解析式,关键