内容正文:
解析:构造四边形,四边形的对角线的交
点即为所求的交点。故所求交点个数等于四
边形的个数,即C23×C24=18。
六、构造“格子”,构造“上,右”
例6 动点从(0,0)沿水平或竖直方向
运动到点(6,8),要使行驶的路程最小,有多
少种不同的走法?
解析:动点只能向上或向右运动才能使
路程最小,而且最小的路程为14,把动点运动
一个单位看成是1步,则动点走了14步,于
是问题可构造为在14个有序的格子中填写6
个“右”和8个“上”,就变成了一个组合计数
问题,故一共有C614=3
003(种)走法。
许多排列组合问题都需要现场构造,我
们总结的“插空法”“捆绑法”“隔板法”,都是
构造法的产物,因此从根本上说还是要练就
“构造”的本领,做到以不变应万变。
七、构造斜率
例7 求函数y= sin
x
2-cos
x
的值域。
解析:依函数的结构联想斜率公式k=
y2-y1
x2-x1
,得知函数y=
sin
x
2-cos
x
表示连接点
A(2,0)和P(cos
x,-sin
x)的直线的斜率,
而动点P 的轨迹是单位圆,画出图形,可快速
求得-
3
3≤y≤
3
3
。
八、构造组合数
例8 求数列{n(n+1)(n+2)}的前n
项和。
解析:联想组合数公式,可先将式子n(n
+1)(n+2)改写成组合数,n(n+1)(n+2)
=6×
n(n+1)(n+2)
3! =6C
3
n+2,然后反复使用
公式Cmn+Cm+1n+1 就可以求得结果。
Sn=1×2×3+2×3×4+3×4×5+…
+n(n+1)(n+2)=6(C33+C34+C35+…+
C3n+2)=6(C44+C34+C35+…+C3n+2)=6C4n+3=
6×
n(n+1)(n+2)(n+3)
4! =
n(n+1)(n+2)
4
。
(责任编辑 王福华)
■河南省平舆县第一高级中学 李合举
一、数列概念理解不透,由Sn 求an 时
忽略n=1的情况
对于数列an 与Sn 之间有如下关系:an
=
S1(n=1),
Sn-Sn-1(n≥2), 利用两者之间的关系可
以已知Sn 求an。但注意只有在当a1 适合
an=Sn-Sn-1(n≥2)时两者才可以合并,否
则要写成分段函数的形式。
例1 已知数列{an}的前n 项之和Sn
=aqn(a≠0,q≠1,q为非零常数),则{an}为
( )。
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列,也不是等比数列
D.既是等差数列,又是等比数列
错解:因为an+1=Sn+1-Sn=aqn+1-aqn
=aqn(q-1),所以an=Sn-Sn-1=aqn-1(q
-1),所以
an+1
an
=q(常数),所以{an}为等比
数列。故选B。
错因分析:错解中忽略了an=Sn-Sn-1
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解题篇 易错题归类剖析
高考使用 2019年10月
时的隐含条件n>1。
正解:当n=1时,a1=S1=aq;当n≥2
时,an=Sn-Sn-1=aqn-1(q-1),所以
an+1
an
=
q(常数),但因为
a2
a1
=q-1≠q,所以{an}既不
是等差数列,也不是等比数列。故选C。
同类题型:已知数列{an}的前n 项之和
为Sn=n2+n+1,则数列{an}的通项公式为
。
解析:当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=n2+n+1-(n-1)2-
(n-1)-1=2n。
所以an=
3,n=1,
2n,n≥2。
二、忽视对等比数列中公比的分类讨论
等比数列求和公式应用时要对q=1,
q≠1讨论。
例2 设等比数列{an}的前n 项和为
Sn。若S3+S6=2S9,求数列{an}的公比q。
错 解:因 为 S3 + S6 = 2S9,所 以
a1(1-q3)
1-q
+
a1(1-q6)
1-q
=2·
a1(1-q9)
1-q
,整
理得q3(2q6-q3-1)=0。
由q≠0得方程2q6-q3-1=0,所以
(2q3+1)(q3-1)=0,所以q=-
3
4
2
或q=1。
错因分析:在 错 解 中,由a1
(1-q3)
1-q
+
a1(1-q6)
1-q
=2·
a1(1-q9)
1-q
,整理得q3(2q6-
q3-1)=0时,应有a1≠0和q≠1。在等比
数列中,a1≠0是显然的,但公比q完全可能
为1,因此,在解题时应先讨论公比q=1的
情况,再在q≠1的情况下,对式子进行整理
变形。
正解:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,
S