09 2019年高考数列经典问题聚焦-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

■江苏省口岸中学 叶阿平 2019年 高 考 对 数 列 主 要 围 绕:“等 差 和 等比数列的通项与求和、一般数列的切 入 点 的应用、累加法与错位相减法求和进而 求 通 项、公式法求和、裂项相消法 求 和、数 列 中 存 在性问题的探究证明及参数范围的求解”等 知识展开的,凸显数列的工具性、应用性及创 新性。 聚焦1——等差数列通项及前n 项和的 最值问题 例1 (2019年 高 考 北 京 卷 文 16)设 {an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+ 8,a4+6成等比数列。 (1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前n 项和为Sn,求Sn 的最 小值。 解析:(1)设 等 差 数 列{an}的 公 差 为 d, 因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以 (a3+8)2=(a2+10)(a4+6),即(2d-2)2= d(3d-4),解得d=2,所以an=-10+2(n -1)=2n-12。 (2)方 法1:由(1)知an =2n-12,所 以 Sn = -10+2n-12 2 × n = n2 -11n = n- 11 2 2 - 121 4 。当n=5或 者n=6时,Sn 取到最小值-30。 方法 2:由 (1)得 an =2n-12,因 为 an≤0, an+1≥0, 所以 2n-12≤0, 2n-9≥0, 所 以92≤n≤6, 所以n=5或6。即数列从第7项开始 为 正 值,故 S5=S6 最 小,S5=5×(-10)+ 5×4 2 ×2=-30,则Sn 的最小值为-30。 反思:等差数列是特殊的一次函数,可利 用二次函数的性质求通项an=a1+(n-1)d =dn+(a1-d)=kn+b(n∈N*)及前n 项 和Sn= n(a1+an) 2 =na1+ n(n-1) 2 d= d 2 n2 + a1- d 2 n(n∈N*)的最 值。还 可 利 用 通 项 构 建 不 等 式 组 an≥0, an+1≤0 (d > 0)或 an≤0, an+1≥0 (d>0)确定n 的值,进而求Sn 的最 值,但要注意其定义域为正整数集这一 限 制 条件。 聚焦2——等比数列的定义、通项及前 n 项和的应用 例2 (2019年高考全国卷文18)已知 {an}是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列,a1=2, a3=2a2+16。 (1)求{an}的通项公式; (2)设bn =log2 an,求 数 列{bn}的 前 n 项和。 解析:(1)因为数列{an}是各项均为正数 的等比数列,a3=2a2+16,a1=2,所以 令 数 列{an}的 公 比 为q,则a3=a1q2=2q2,a2= a1q=2q,所以2q2=4q+16,解得q=-2(舍 去)或4,所以数列{an}是首项为2、公比为4 的等比数列,所以an=2×4n-1=22n-1。 (2)因为bn=log2 an,所 以bn=2n-1, bn+1=2n+1,bn+1-bn=2,所 以 数 列{bn}是 首项为1、公 差 为2的 等 差 数 列,所 以 Sn = 1+2n-1 2 ×n=n2。 反思:等差、等比数列各有五个基本量, 两组基本公式,这两组公式可看作多元方程, 利用这些方程可将等差、等比数列中的 运 算 问题转化为解关于基本量的方程(组)问题, 有意识地应用等差、等比数列的性质可 以 简 化运算,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少 运算量”的方法解等差、等比数列问题。 32 解题篇 经典题突破方法 高考使用 2019年10月 聚焦3——裂项相消法求证特殊数列和 不等式 例3 (2019年高考浙江卷20)设等差 数列{an}的前n 项和为Sn,a3=4,a4=S3, 数列{bn}满足:∀n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn, Sn+2+bn 成等比数列。 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记 cn = an 2bn ,n∈N*,证 明:c1+ c2+…+cn<2 n,n∈N*。 解 析: (1 ) 由 题 意 可 得 a1+2d=4, a1+3d=3a1+ 3×2 2 d, 解 得 a1=0 , d=2, 则 数 列 {an}的 通 项 公 式 an =2n-2,其 前 n 项 和 Sn= (0+2n-2)×n 2 =n(n-1)。 因为∀n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+ bn 成等比数列,则n(n-1)+bn,n(n+1)+ bn,(n+1)(n+2)+bn 成等比数列,即[n· (n+1)+bn]2=[n(n-1)+bn]×[(n+1)(n +2)+bn],据此有n2(n+1)2+2n(n+1)bn +b2n=n(n-1)(n+1)(n+