11 三角函数与平面向量经典题突破-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

■河南省平舆县第一高级中学 张灵敏 三角函数和平面向量都是高中数学的重 要内容,也是历年高考考查的重点。三角函 数与解三角形结合是高考考查的热点问题, 基本每年必考。一般考查三角函数定义、诱 导公式、正弦定理、余弦定理及三角恒等变形 能力;平面向量主要考查平面向量加减法、平 面向量共线定理、平面向量基本定理、平面向 量数量积。 典例1 (2019年高考全国Ⅰ卷理) △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b, c,设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C。 (1)求A; (2)若 2a+b=2c,求sin C。 分析:(1)利用正弦定理化简已知边角关 系式可得b2+c2-a2=bc,从而可整理出 cos A,根据A∈(0,π)可求得结果;(2)由正 弦定理可得 2sin A+sin B=2sin C,然后利 用sin B=sin(A+C)、两角和差正弦公式可 得关于sin C 和cos C 的方程,结合同角三角 函数关系解方程即可求得结果。 解:(1)因为(sin B-sin C)2=sin2B- 2sin Bsin C+sin2C=sin2A-sin Bsin C,所 以sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,由正 弦定理可得b2+c2-a2=bc。 所以cos A= b2+c2-a2 2bc = 1 2 ,因为A∈ (0,π),所以A= π 3 。 (2)方法一:因为 2a+b=2c,由正弦定 理得 2sin A+sin B=2sin C。 又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+ cos Asin C,A= π 3 ,所以 2× 3 2+ 3 2cos C + 1 2sin C=2sin C,整理可得3sin C- 6= 3cos C。 因为sin2C+cos2C=1,所以(3sin C- 6)2=3(1-sin2C),解得sin C= 6+ 2 4 或 6- 2 4 。 因为sin B=2sin C- 2sin A=2sin C - 6 2 >0 ,所 以 sin C> 6 4 ,故 sin C= 6+ 2 4 。 方法二:因为 2a+b=2c,由正弦定理 得 2sin A+sin B=2sin C。 又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+ cos Asin C,A= π 3 ,所以 2× 3 2+ 3 2cos C + 1 2sin C=2sin C。 整理 可 得3sin C- 6= 3cos C,即 3sin C- 3cos C=23sinC- π 6 = 6,所 以sinC- π 6 = 22。 因为C∈ 0, 2π 3 ,C-π6∈ -π6,π2 , 所以C- π 6= π 4 ,即C= π 4+ π 6 。 所以sin C=sin π4+ π 6 = 6+ 24 。 点评:本题考查利用正弦定理、余弦定理 解三角形的问题,涉及两角和差正弦公式、同 角三角函数关系的应用,解题关键是能够利 用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余 弦定理的形式或角之间的关系。 典例2 (2019年高考全国Ⅲ卷理) △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b, c,已知asin A+C 2 =bsin A。 82 解题篇 经典题突破方法 高考使用 2019年10月 (1)求B; (2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求 △ABC 面积的取值范围。 解析:(1)由题设及正弦定理得sin A· sin A+C 2 =sin Bsin A。 因为sin A≠0,所以sin A+C 2 =sin B。 由A+B+C=180°,可得sin A+C 2 =cos B 2 , 故cos B 2=2sin B 2cos B 2 。因为cos B 2≠0 ,故 sin B 2= 1 2 ,因此B=60°。 (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S△ABC = 3 4a 。由 正 弦 定 理 得 a = csin A sin C = sin(120°-C) sin C = 3 2tan C+ 1 2 。由 于△ABC 为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°, 由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故 1 2<a<2 ,从而 3 8<S△ABC< 3 2 。 因 此,△ABC 面 积 的 取 值 范 围 是 3 8 ,3 2