专题18 导数的应用-2020年江苏省高考数学考点探究

专题18 导数的应用 专题知识梳理 1. 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不恒为0，则参数范围确定． 2. 理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值． 3. 用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点． 用导数解决优化问题的基本思路如下：①分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；②求函数的导数f′(x)＝0，确定极值点；③比较函数在区间端点的值和极值点的值的大小，最大(小)者为函数的最大(小)值；④还原到实际问题中作答． 考点探究[来源:Z§xx§k.Com] 考向1　利用导数研究函数的性质 【例】（2019·江苏卷）设函数，a，b，，为的导函数． 若，，求a的值； 若，，且和的零点均在集合1，中，求的极小值； 若，，，且的极大值为M，求证：． 题组训练 1.设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R). (1)当k＝1时,求函数f(x)的单调区间；[来源:学,科,网] (2)当k∈时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M. 2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)． (1)试讨论f(x)的单调性； (2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值． [来源:Zxxk.Com] 考向2　利用导数解决不等式问题 【例】（2019·南京模拟）已知函数． 当时，求函数的图象在处的切线方程； 若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围； 若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围． 题组训练 1.已知函数f(x)=lnx+(a>0). (1) 当a=2时,求函数f(x)的单调区间; (2) 当x>0时,不等式f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围. 2.已知函数，且. (1)求； (2)证明：存在唯一的极大值点，且. 3.（2017·镇江一模）已知函数，（为常数）． （1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值； （2）若，且，证明：； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． [来源:学.科.网Z.X.X.K] 考向3　利用导数解决实际应用问题 【例】（2018·江苏卷）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． [来源:Zxxk.Com] 题组训练 1.(2018·无锡一模)如图,点C为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD为海岸线,∠CAB=,AB⊥BD,是以A为圆心,半径为1 km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线 -PQ,其中P为上异于B,C的一点,PQ与AB平行,设∠PAB=θ. (1) 求证:观光专线 -PQ的总长度随θ的增大而减小. (2) 已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路 的单位成本的2倍.当θ取何值时,观光专线-PQ的修建总成本最低?请说明理由. 2.(2018·苏州期初)某公司设计如图所示的环状绿化景观带,该景观带的内圈由两条平行线段(图中的AB,DC)和两个半圆构成,设AB=x m,且x≥80. (1) 若内圈周长为400 m,则x取何值时,矩形ABCD的面积最大? (2) 若景观带的内圈所围成区域的面积为 m2,则x取何值时,内圈周长最小? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题18 导数的应用 专题知识梳理 1. 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数