专题11 利用导数研究函数的单调性、最（极）值-巅峰冲刺江苏省2020年高考数学一轮考点扫描（文理通用）

专题11 利用导数研究函数的单调性、最（极）值 【名师预测】 利用导数研究函数的单调性、最（极）值是江苏高考中的必考题，填空题以中档题为主，解答题是以压轴题为主。纵观几年江苏高考不难发现，利用导数研究函数的单调性、最（极）值与不等式及零点等知识点相结合作为考试重点，故在复习中要加强对此类题型的研究与学习。 【知识精讲】 一、导数与函数的单调性 一般地，在某个区间(a，b)内： （1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增; （2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减; （3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数． 注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； （2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. （3）函数f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a，b)内恒成立，且在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有，不影响函数f (x)在区间内的单调性. 二、利用导数研究函数的极值和最值 1．函数的极值 一般地，对于函数y=f (x)， （1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值. （2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2．函数的最值 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3．函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【典例精练】 考点一 判断函数的单调性 例1．已知函数f(x)＝x3－ax－1，讨论f(x)的单调性． 考点二 求函数的单调区间 例2．已知函数f (x)＝x2－ax－a2ln x. （1）求f (x)的单调区间； （2）若f (x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 考点三 由函数的单调性求参数的取值范围 例3．已知函数f (x)＝ex－ax－1. （1）求f(x)的单调递增区间； （2）是否存在实数a，使f (x)在(－2,3)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说 明理由． 考点四 运用导数解决函数的极值问题 例4．函数f (x)＝ln x－x2的极值点个数为________． 例5．函数f(x)＝x＋的极大值是________． 例6．已知函数f (x)＝x3－3ax2＋3x＋1. （1）若a＝2，求f (x)的单调区间； （2）若f (x)在区间(2,3)内至少有一个极值点，求a的取值范围． 考点五 运用导数解决函数的最值问题 例7．已知y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，且f′(x)＝ln x＋1，则函数f(x)的最小值为________． 例8．设n∈N*，a，b∈R，函数f(x)＝＋b，已知曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1. （1）求a，b； （2）求f(x)的最大值． 考点六 利用导数研究不等式 例9．已知函数f(x)＝(x＋1)ex，g(x)＝2x2＋3x＋m. （1）求f(x)的极值； （2）若g(x)≤f(x)对任意的x∈[－1,0]恒成立，求实数m的取值范围 【名校新题】 一、填空题 1．（2019·南通启东中学期末）函数的单调递减区间是_________. 2．（2019·盐城期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值集合为______． 3．（2019·南通月考）已知函数对于任意实数都有，且当时，，若实数满足，则的取值范围是______． 4．（2019·楚州中学月考）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________． 5．（2019·江苏大联考）已知函数，若函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是__________. 6．（2019·南通第