专题17 利用导数研究函数的极值和最值-2020年江苏省高考数学考点探究

专题17 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都有.就说是函数的一个极小值，记作y极小值=，是极小值点。极大值与极小值统称为极值. (2)判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f(x)的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ②求出方程的定义域内的所有实数根； ③用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。 ④根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ②将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。 考点探究 考向1　利用导数研究函数的极值 【例】已知函数，求函数的极值. 题组训练 1.函数的极大值是________，极小值是________． 2.已知函数在处有极值10，求的值。 3.（易错题）若函数在其定义域内的一个子区间内有极值，则实数的取值范围_____. 4.已知函数的极大值点和极小值点都在区间内, 则实数的取值范围是 ． 考向2　利用导数研究函数的最值 【例】已知函数. (1) 求函数在上的最值； (2) 若函数在上的最小值为，求实数的值． 题组训练 1.函数在区间上的最小值为______． 2.设函数． （1）若在上递增，求实数的取值范围；（2）求在上的最小值． 考向3　最（极）值的综合问题 【例】已知函数． (1)求函数的单调区间和极值点； (2)若在恒成立，求实数的取值范围． 题组训练 1.已知函数的定义域为为的导函数． （1）求方程的解集； （2）求函数的最大值与最小值； （3）若函数在定义域上恰有2个极值点，求实数的取值范围. 2.设函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是____________． 3.已知函数． （1）求函数在区间上的最小值； （2）若，使成立，求实数的最大值． 4.已知函数（为实数），（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围_________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 $$ 专题17 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都有.就说是函数的一个极小值，记作y极小值=，是极小值点。极大值与极小值统称为极值. (2)判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f(x)的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ②求出方程的定义域内的所有实数根； ③用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。 ④根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ②将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。 考点探究 考向1　利用导数研究函数的极值 【例】已知函数，求函数的极值. 【解析】因为，所以,令，得，列表: -