2.1 从平面向量到空间向量（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

§1　从平面向量到空间向量 授课提示：对应学生用书第12页 一、空间向量 定义 在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量． 表示方法 ①用a，b，c表示； ②用有向线段表示，如：，其中A叫作向量的起点，B叫作向量的终点 自由向量 数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量 长度或模 与平面向量一样，空间向量或a的大小也叫作向量的长度或模，用||或|a|表示 夹角 定义 如图，两非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 规定0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 当〈a，b〉＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b 向量平行 当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b 二、向量、直线、平面 1．直线的方向向量 设l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量． 2．平面的法向量 如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量． 平面α有无数个法向量，平面α的所有法向量都平行． [疑难提示] 　空间向量与平面向量的关系 平面向量的集合是空间向量集合的子集，空间向量内容是平面向量内容的扩展．因此，平面向量的概念在空间向量中仍然成立．如零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念在空间向量中仍然成立． [想一想][来源:学科网] 1．当空间中两直线平行时，它们的方向向量有什么样的关系？其方向向量的夹角是多少？ 提示：由于直线与其方向向量平行，故当两直线平行时，它们的方向向量也平行，从而其夹角为0(同向时)或π(反向时)． [练一练] 2．在长方体ABCDA′B′C′D′的棱所在的向量中，与向量的模相等的向量至少有(　　) A．0个　　　　　　　　　 B．3个 C．7个 D．9个 解析：与向量的模一定相等的向量有，，，，，，，共7个． 答案：C 3．下列命题中正确的是(　　) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 C．零向量没有确定的方向 D．直线的所有方向向量方向相同 解析：对于A，若b为零向量，则a与c不一定共线，故A错；对于B，考虑到零向量与任意向量平行，可知B错；C正确；显然D错，故选C. 答案：C 4．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m________p. 答案：＝ 授课提示：对应学生用书第13页 探究一　空间向量的概念辨析 [典例1]　下列关于单位向量与零向量的叙述中，正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C．零向量的长度为0，两个单位向量不一定是相等向量 D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同[来源:Zxxk.Com] [解析]　因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C. [答案]　C 对于概念辨析题，准确熟练地掌握有关概念的差别，特别是细微之处的差别，是解决这类问题的关键． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列说法正确的有________． ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②0方向任意； ③相等向量是指它们的起点与终点对应重合． 解析：①中|a|＝|b|仅说明模相等，方向没有限定；③中相等向量指大小相等、方向相同，但起点与终点不一定重合的向量． 答案：② 2．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1.则以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中： (1)单位向量是哪几个？ (2)模为的向量是哪些？ (3)与相等的向量是哪些？ (4)的相反向量是哪些？ 解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高对应的向量，，，，，，，为单位向量． (2)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为， 故模为的向量有，，，，，，，. (3)与相等的向量有，，. (4)的相反向量为，，，. 探究二　求向量之间的夹角 [典例2]　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，求： (1)〈，〉，〈，〉； (2)〈，〉，〈，〉． [解析]　(1)如图所示，连接AC， ∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF∥AC， ∴∥，且方向相同， ∴〈，〉＝0°. ∴∥，且方向相反， ∴〈，〉＝180°. (2)∵在正方形ABCD中，AB⊥BC， ∴〈，〉＝90°. ∵A1B1⊥平面A1ADD1，又AD1平面A1ADD1， ∴A1B1⊥AD1. ∴〈，〉＝90°. 1．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是[0，]，而向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a，b〉与〈－a，b