2.3.3 空间向量运算的坐标表示（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

3．3　空间向量运算的坐标表示 授课提示：对应学生用书第19页 一、各种运算的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2) 数乘 λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R) 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2 二、平行、垂直、模长、夹角的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1)若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)； (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0， |a|＝＝， cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0)． 三、空间向量的坐标表示 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． [疑难提示] 　空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算之间的关系 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算的基本思想方法、形式都类似，只不过从二维运算到三维运算而已，仅多了一项竖坐标，其运算法则与横、纵坐标一致． [想一想] 1．把向量＝(x，y，z)平移后，其坐标如何变化？ 提示：点A，B的坐标会发生变化，向量的坐标不变． [练一练] 2．已知a＝(1,2，－3)，b＝(5，－7,8)，则2a＋b的坐标为(　　) A．(7，－3,2) B．(6，－5,5) C．(6，－3,2) D．(11，－12,13) 解析：2a＋b＝2(1,2，－3)＋(5，－7,8)＝(2,4，－6)＋(5，－7,8)＝(7，－3,2)． 答案：A 3．已知a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则a·b的值为(　　) A．20 B．－29 C．－20 D．29 解析：a·b＝(2，－3,5)·(－3,1，－4)＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－6－3－20＝－29. 答案：B[来源:学*科*网] 授课提示：对应学生用书第19页 探究一　利用坐标表示空间向量 [典例1]　已知O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别是(2，－1,2)、(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P的坐标，使： (1)＝(－)； (2)＝(－)． [解析]　由已知可得：＝(4,5，－1)－(2，－1,2)＝(2,6，－3)，＝(－2,2,3)－(2，－1,2)＝(－4,3,1)． (1)＝(－)＝[(2,6，－3)－(－4,3,1)]＝(3，，－2)，所以P点的坐标为(3，，－2)． (2)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)． 因为(－)＝(3，，－2)， 所以＝(x－2，y＋1，z－2)＝(3，，－2)， 解得：x＝5，y＝，z＝0，则P点的坐标为(5，，0)． 建立空间直角坐标系来求点或向量的坐标，关键在于建系，建系的关键是要有特殊的图形环境：有公共顶点的两两垂直的三条线．若图中没有这样的环境，第一步就是选择或创造(作辅助线)建立空间直角坐标系的适宜环境． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则＝(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：由于B(1,1,0)，E1，所以＝. 答案：C 2.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量，，，的坐标． 解析：以C点为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系． ＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1，－2)，＝(，，0)． 探究二　坐标形式下平行与垂直条件的应用 [典例2]　已知空间三点A(－1,1,3)，B(0,2,3)，C(－2,1,5)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值； (3)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与y轴垂直，求λ，μ满足的关系式． [解析]　(1)∵c∥， ∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)(m∈R)， ∴|c|＝＝3|m|＝3， ∴m＝±1， ∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又|a|＝＝，|b|＝＝， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－. (3)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－