2.5 夹角的计算（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

§5　夹角的计算 授课提示：对应学生用书第24页 一、直线间的夹角 设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2，α为l1与l2的夹角． 二、平面间的夹角 1．定义：如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R，我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角． 2．与平面法向量的关系 设平面π1和π2的法向量分别为n1、n2，θ为两个平面的夹角，θ＝ 三、直线与平面的夹角 设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ. [疑难提示] 　异面直线夹角与向量夹角的差异 根据异面直线的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角，而向量夹角的范围为[0，π]．所以从范围上讲，这两个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外)． [想一想] 1．如何用向量求平面间的夹角？ 提示：设平面π1和π2的夹角为θ，其法向量分别为n1和n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 2．如何用向量求直线与平面的夹角？ 提示：若直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.则sin θ＝|cos〈s，n〉|＝. [练一练] 3．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝＝＝－.又两直线夹角的取值范围为，所以l1和l2夹角的余弦值为. 答案：C 4．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是(　　) A．cos θ＝ B．cos θ＝ C．sin θ＝ D．sin θ＝ 解析：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90˚ 或θ＝90˚ －β，故选D. 答案：D 5．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，v＝(－1，1,0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是________． 解析：∵cos〈n，v〉＝＝＝－，∴〈n，v〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°. 答案：60° 授课提示：对应学生用书第25页 [来源:学科网] 探究一　求异面直线所成的角 [典例1]　如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD与平面D1C1CD垂直，且∠D1DC＝，DC＝DD1＝2，DA＝，∠ADC＝，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值． [解析]　建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(，0,0)，D1(0,1，)， C(0,2,0)，D(0,0,0) 由＝得A1(，1，)． ∴＝(－，1，－)， ＝(，－1，－)， ∴cos〈，〉＝ ＝＝－. ∴异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为. 1．求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角〈a，b〉．但两异面直线的夹角范围是，所以当〈a，b〉∈时，两异面直线的夹角应为π－〈a，b〉． 2．合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图所示，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与O1A夹角的余弦值． 解析：以O为坐标原点， OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则O(0,0,0)， O1(0,1，)， A(，0,0)， A1(，1，)，B(0,2,0)， ∴＝(－，1，－)， ＝(，－1，－)． ∴|cos〈，〉|＝ ＝＝. ∴异面直线A1B与O1A夹角的余弦值为. 2.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足． (1)求证：BE⊥PD； (2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值． 解析：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)． 又∵∠PDA＝30°， ∴AP＝AD·tan 30°＝2a·＝a， AE＝AD·sin 30°＝2a·＝a. 过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝，EF＝a. ∴P，E. (1)证明：＝， ＝，