2.6 距离的计算（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

§6　距离的计算 授课提示：对应学生用书第27页 一、点到直线的距离 1．定义：点A是直线l外一定点．作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度． 2．求法 设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，则点A到直线l的距离d＝，其中s0＝. 二、点到平面的距离 1．定义： A是平面π外一定点，作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度． 2．求法 设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点，则点A到平面π的距离d＝|·n0|，其中n0＝. 3．求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 由于＝n0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d＝|·n0|. [疑难提示] 　如图，点到平面的距离的求法 BO⊥平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是线段BO的长度． 若AB是平面α的任意一条斜线段， 则在Rt△BOA中， |B|＝|B|cos∠ABO＝|B|·＝. 如果令平面α的法向量为n，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面α的距离为|B|＝. 因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成： (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量． [想一想] 1．如何求线面距，面面距？ 提示：如果l∥α，求l到α的距离可以转化为求直线l上一点P到平面α的距离，即由点到平面的距离来求；如果α∥β，求α与β之间的距离可以转化为求平面α上任意一点P到平面β的距离，即由点到平面的距离来求． [练一练] 2．以下说法错误的是(　　) A．两平行平面之间的距离就是一个平面内任意一点到另一个平面的距离 B．点P到平面α的距离公式是d＝，其中A为平面α内任意一点，n为平面α的一个法向量 C．点P到直线l的距离公式是d＝，其中A为直线l上任意一点，a为与直线l垂直的向量 D．异面直线l1与l2，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则||的最小值就是l1与l2的距离 解析：选项C中，只有当a与直线l及共面时，此公式才成立． 答案：C 授课提示：对应学生用书第27页 探究一　求点到直线的距离 [典例1]　棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． [解析]　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)． ＝(1，－2,1)，＝(－1,0,2)， 在上的投影为·＝， ∴点A到直线EF的距离为 d＝ ＝. 求点到直线的距离的方法 (1)几何法：①找到P在直线l上的投影P′. ②在某一个三角形中求线段PP′的长度． (2)向量法：①在直线l上任取一点P. ②求直线l的方向向量s0. ③d＝，其中s0＝. 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1,0,0)＋(0,1,0)＋(0,0,1)＝.又＝(1,0,0)，∴在上的投影为＝，∴点P到AB的距离为＝. 答案：A 2.如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝2，BC＝3，AA′＝4，求点B到直线A′C的距离． 解析：因为AB＝2，BC＝3，AA′＝4，所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)． ＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3，4)． ＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)． 所以在上的投影为 ·＝(0，－3,0)· ＝(0，－3,0)·(，，) ＝0×＋(－3)×＋0×＝， 所以点B到直线A′C的距离为 d＝＝＝. 探究二　求点到平面的距离 [典例2]　如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝.OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点． (1)求异面直线AB与MD夹角的大小； (2)求点B到平面OCD的距离． [解析]　作AP⊥CD于点P.如图，以A为坐标原点，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，，0)，D(－，，0)， O(0,0,2)，M(0,0,1) (1)设AB和MD的夹角为θ， ∵＝(1,0,0)， ＝(－，，－1)， ∴cos θ＝＝. ∴θ＝. ∴异面直线AB与MD的夹角的大小为. (2)∵＝(0，，－2)，＝(－，，－2)， 设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则