3.1.2 椭圆的简单性质（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

1．2　椭圆的简单性质 授课提示：对应学生用书第33页 一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 范围 |x|≤a，|y|≤b |y|≤a，|x|≤b 顶点 (±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0) 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b 焦点 (±c,0) (0，±c) 焦距 2c 对称性 对称轴坐标轴，对称中心原点 离心率 e＝ 二、当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁； 当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆． [疑难提示] 　椭圆方程中a，b，c的意义 结合椭圆的定义与几何性质可以知道，a：定义中定长的一半，长半轴的长，焦点到短轴顶点的距离；b：短半轴的长；c：焦点到椭圆的中心的距离，焦距的一半．a，b，c恰好可以构成以a为斜边的直角三角形，如图所示． [想一想] 1．能否用a和b表示椭圆的离心率e? 提示：可以．由于e＝，又c＝，故e＝＝＝ . [练一练] 2．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D．2 解析：由b＝c得c2＝b2＝a2－c2，∴a2＝2c2即＝，∴e＝＝. 答案：B 3．椭圆9x2＋y2＝81的长轴长为________，短轴长为________，焦点坐标为________，顶点坐标为______，离心率为________． 答案：18　6　(0，±6)　(±3,0)和(0，±9)　 授课提示：对应学生用书第34页 探究一　由椭圆方程得椭圆的几何性质 [典例1]　求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标以及离心率． (1)＋＝1； (2)m2x2＋4m2y2＝1(m>0)． [解析]　(1)椭圆的方程＋＝1可转化为＋＝1. ∵16>，∴焦点在y轴上， 并且长半轴长a＝4，短半轴长b＝， 半焦距c＝＝ ＝， ∴长轴长2a＝2×4＝8，短轴长2b＝2×＝5， 焦点坐标为(0，－)，(0，)， 顶点坐标为(－，0)，(，0)，(0，－4)，(0,4)， e＝＝. (2)椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)，可化为＋＝1. ∵m2<4m2，∴>，∴椭圆的焦点在x轴上， 并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝. ∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 顶点坐标为(，0)，(－，0)，(0，－)，(0，)，e＝＝. 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是(　　) A．(±1,0)　　　　　　 B．(0，±1) C．(±，0) D．(0，±) 解析：由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝＝＝，所以椭圆的焦点坐标是(0，±)，故选D. 答案：D 2．已知椭圆mx2＋(m＋9)y2＝25m(m>0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[来源:学。科。网] 解析：椭圆的方程可化为＋＝1. ∵25－＝>0，∴25>， 即a2＝25，b2＝，c2＝a2－b2＝， 由e＝，得＝，∴m＝16. ∴椭圆的标准方程为＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3. ∴椭圆的长轴长为10，短轴长为8，两焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，四个顶点坐标分别为(－5,0)，(5,0)，(0，－4)，(0,4)． 探究二　利用几何性质求标准方程 [典例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝； (2)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)； (3)过点(3,0)，离心率e＝. [解析]　(1)由a＝2，e＝，可得a2＝4，且＝，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3.已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为＋＝1. (2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34. 因此所求的标准方程为＋＝1. (3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝， 所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝， 所以＝，所以a2＝27， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． 2．根据已知条件求椭圆的标准方程