1.6.1 垂直关系的判定（课件+作业）-2019-2020学年高中数学必修二【优化探究】同步导学案（北师大版）

6　垂直关系 6．1　垂直关系的判定 考　纲　定　位 重　难　突　破 1.了解线面垂直、面面垂直的定义． 2.理解线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间角中有关二面角的定义．[来源:学。科。网] 3.能运用判定定理证明线面、面面垂直. 重点：线面垂直、面面垂直的判定． 难点：找(作)二面角的平面角． 方法：分类讨论思想在垂直关系中的应用. 授课提示：对应学生用书第18页 [自主梳理] 一、直线与平面垂直 1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． 2．判定定理 文字语言 图形表示 符号语言 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 二、二面角及其平面角 二面角 定义 从一条直线出发的这两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，两个半平面叫作二面角的面如图，记作：αABβ或αlβ 范围 0°≤θ≤180° 画法 如图：二面角αlβ 若有①O∈l； ②OAα，OBβ； ③OA⊥l，OB⊥l， 则∠AOB就叫作二面角αlβ的平面角 三、平面与平面垂直 1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2．判定定理 文字语言 图形表示 符号语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β [双基自测] 1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是(　　) A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内的无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内的任意一条直线垂直 解析：根据线面垂直的定义，可知当l垂直于α内所有直线时，l⊥α. 答案：D 2．已知直线l⊥平面β，l平面α，则(　　) A．α⊥β　　　　　　　　 B．α∥β C．α∥β或α⊥β D．α与β相交但不一定垂直 解析：根据面面垂直的判定定理知α⊥β. 答案：A 3．二面角的平面角是指(　　) A．两个平面相交的图形 B．一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D．以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角 解析：由定义知，二面角的平面角是指以两个相交平面交线上的任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角． 答案：D 4．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定 解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°，若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°. 答案：C 5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 解析：反例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角DAA1E与二面角B1ABD的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D. 答案：D 授课提示：对应学生用书第19页 探究一　直线与平面垂直的判定 [典例1]　如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． [解析]　(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点， 所以OP⊥AC，且OP＝2. 如图，连接OB，因为AB＝BC＝AC， 所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2. 由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB. 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC. (2)如图，作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离．[来源:学科网] 由题设可知OC＝AC＝2， CM＝BC＝，∠ACB＝45°. 所以OM＝，CH＝＝. 所以点C到平面POM的距离为. 1．利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的“三个步骤”： (1)寻找：在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直． (2)确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线． (3)判定：根据判定定理得出结论． 2．线面垂直的三种判定方法： (1)用定义：证明l和平面α内任意一条直线都垂直． (2)用定理：证明l与平面α内“两条相交”的直线都垂直，即线线垂直⇒线面垂直． (3)用推论：若m⊥α，证明l∥m，即可知l⊥α. 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝9