1.6.2 垂直关系的性质（课件+作业）-2019-2020学年高中数学必修二【优化探究】同步导学案（北师大版）

6.2　垂直关系的性质 考　纲　定　位 重　难　突　破 1.理解直线与平面垂直和平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言准确地描述定理． 2.能够灵活地运用两个垂直性质定理证明相关问题． 3.理解并掌握“平行”与“垂直”的相互转化，以及垂直关系之间的相互转化. 重点：线面垂直和面面垂直性质定理的应用． 难点：常与线面、面面垂直的判定定理结合命题，考查多个定理应用的相互转化． 疑点：要证明的结论容易被当成已知使用.[来源:学#科#网] 授课提示：对应学生用书第21页 [自主梳理] 一、直线与平面垂直的性质定理[来源:Zxxk.Com] 文字语言 图形表示 符号语言 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b 二、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形表示 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒a⊥β [双基自测] 1．如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线和这个平面的垂线(　　) A．垂直 B．相交 C．平行 D．异面 解析：设m∥α，n⊥α，则α内一定有一条直线l，使得m∥l，且有l⊥n，所以m⊥n. 答案：A 2．在空间中，下列结论正确的是(　　) ①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行 A．② B．①④ C．① D．①②③④ 解析：由公理4知①对；垂直于同一条直线的两条直线可以异面、相交、平行；平行于同一个平面的两条直线可能异面、相交、平行；由线面垂直的性质知④正确． 答案：B 3．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(　　) A．垂直 B．平行 C．平行或相交 D．平行或相交或直线在另一个平面内 解析：若这条直线平行于交线则它平行于另一个平面；若这条直线与交线相交则它与另一个平面也相交；若这条直线就是交线则它在另一个平面内． 答案：D[来源:Zxxk.Com] 4．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6 cm，BC＝8 cm，EC⊥平面ABC，EC＝12 cm，则ED＝______cm. 解析：连接CD，则CD＝5，又EC⊥平面ABC，所以EC⊥CD，所以ED＝＝＝13. 答案：13 5．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有________条． 解析：连接PD(图略)，∵PO⊥平面ABC，AC平面ABC，∴PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O， ∴AC⊥平面PBD， ∴平面PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直， ∴图中共有4条直线与AC垂直． 答案：4 授课提示：对应学生用书第21页 探究一　线面垂直的性质的应用 [典例1]　如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG. 求证：BC∥FG. [证明]　连接DE. ∵AD⊥AB，AD⊥AC， ∴AD⊥平面ABC.又BC平面ABC， ∴AD⊥BC.又AE⊥BC， ∴BC⊥平面ADE. ∵AF＝AG，D为FG的中点， ∴AD⊥FG. 同理ED⊥FG.又AD∩ED＝D， ∴FG⊥平面ADE. ∴BC∥FG. 1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法． 2．证明线线平行的方法： (1)a∥c，b∥c⇒a∥b. (2)a∥α，aβ，β∩α＝b⇒a∥b. (3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC. 求证：EF∥BD1. 证明：连接AB1，B1C，BD，B1D1. ∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D， ∴AC⊥平面BDD1B1. ∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC. 同理，BD1⊥B1C. ∵B1C∩AC＝C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1. 探究二　面面垂直的性质的应用 [典例2]　如图，四棱椎PABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD. [证明]　设AC∩BD＝O， 连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝a， ∴PC2＋CD2＝PD2， ∴PC⊥CD. ∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线， ∴PC⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD. 又EO平面ED