1.7.3 球的表面积和体积（课件+作业）-2019-2020学年高中数学必修二【优化探究】同步导学案（北师大版）

7．3　球的表面积和体积 考　纲　定　位 重　难　突　破 1.了解球的体积、表面积公式． 2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题. 重点：利用球的表面积公式和球的体积公式解决几何体的度量问题． 难点：球的截面的性质，运用球的表面积和体积公式灵活解决生活中的实际问题. 授课提示：对应学生用书第28页 [自主梳理] 一、球的截面 球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆． 二、球的切线 与圆类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点． 三、球的表面积与体积公式 [双基自测] 1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　　)[来源:Zxxk.Com] A.　　　　　　　　　 B.π C．8π D. 解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1.设球的半径为R，则R2＝12＋12＝2， ∴R＝.∴V球＝πR3＝π，故选B. 答案：B 2．若球的半径扩大为原来的3倍，则它的表面积扩大为原来的几倍(　　) A．1 B．3 C．9 D．27 解析：设球的半径为R，则4π(3R)2＝36πR2，所以当球的半径扩大为原来的3倍时，它的表面积扩大为原来的9倍． 答案：C 3．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为(　　) A.π B.π C.π D.π 解析：因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π，故选D. 答案：D 4．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为________． 解析：设球的半径为r，则πr3＝4π，∴r＝.设正方体边长为a，则a＝2，∴a＝2，∴该正方体的表面积为S正方体＝6a2＝24. 答案：24 授课提示：对应学生用书第28页 探究一　球的表面积与体积的计算 [典例1]　已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于，且AC＝BC＝，AB＝2，求球面面积与球的体积． [解析]　如图所示，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心． 由AC＝BC＝，AB＝2，知△ABC是AB为斜边的直角三角形． ∴O1是AB的中点，在Rt△AOO1中，OO1＝，O1A＝AB＝1. ∴OA＝2，即R＝2. ∴S球面＝4πR2＝16π，V球＝πR3＝π. 1．球的表面积和体积只与球的半径有关，因此解决该类问题的关键是如何根据已知条件求球的半径． 2．在求球的半径时，常用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质： (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系d＝. 1．已知球心O到过球面上三点A，B，C的截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积． 解析：如图所示，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′，AO，AO′， 因为AB＝BC＝CA＝3 cm， 所以O′为正三角形ABC的中心， 且AO′＝AB＝ cm. 设球的半径为R，则OO′＝R. 由球的截面性质，知△OO′A为直角三角形， 所以AO′＝＝＝R，所以R＝2 cm. 所以V球＝πR3＝π(cm3)． 探究二　球的表面积与体积的应用 [典例2]　 如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现． 求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积； (2)球的表面积等于圆柱表面积的； (3)球的体积等于圆柱体积的. [证明]　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R. S球＝4πR2. S圆柱侧＝2πR×2R＝4πR2. S圆柱＝2×S圆柱底＋S圆柱侧 ＝2×πR2＋4πR2＝6πR2. ∴(1)S球＝S圆柱侧，即球的表面积等于圆柱的侧面积． (2)＝＝，即球的表面积等于圆柱表面积的. (3)＝＝. 即球的体积等于圆柱体积的. 球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清是涉及体积问题还是涉及表面积问题，然后再利用等量关系进行计算． 2．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 解析：如图作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径为r，则容器内水的体积为 V＝V圆锥－V球＝π(r)2·3r－πr3＝πr3. 将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V′＝π2h＝πh3. 由V＝V′得h＝r. 探究三　与球有关的接切问题 [典