2.1.1 直线的倾斜角和斜率（课件+作业）-2019-2020学年高中数学必修二【优化探究】同步导学案（北师大版）

1　直线与直线的方程 1．1　直线的倾斜角和斜率 考　纲　定　位 重　难　突　破 1.掌握直线的倾斜角的概念． 2.掌握直线的斜率的概念，并理解斜率与倾斜角之间的关系． 3.能熟练地运用斜率的定义及两点斜率公式求直线的斜率. 重点：直线倾斜角的概念及斜率的概念与计算． 难点：倾斜角的范围与斜率的范围之间的转化． 疑点：直线的倾斜角与斜率之间的关系. 授课提示：对应学生用书第34页 [自主梳理] 一、直线的倾斜角 1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角． 2．当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0°. 3．当直线l和y轴平行时，它的倾斜角为90°. 4．倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 5．直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度． 二、直线的斜率 1．定义：对于倾斜角不是直角的直线，它的倾斜角的正切值叫作直线的斜率，记作k＝tan_α. 2．倾斜角为90°的直线的斜率不存在． 3．斜率的求法 (1)定义法：已知倾斜角α(α≠90°)，k＝tan_α. (2)两点法：在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，则斜率k＝. [双基自测] 1．下面四种说法正确的个数是(　　) ①直线的倾斜角表示直线的倾斜程度，而直线的斜率不能表示直线的倾斜程度； ②直线的倾斜角越大其斜率就越大； ③直线的斜率越大其倾斜角就越大； ④任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率． A．0　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 解析：只有④正确． 答案：B 2．直线y＝1的倾斜角为(　　) A．0° B．90° C．180° D．不存在 解析：直线y＝1平行于x轴，倾斜角为0°. 答案：A 3．过点A(1，－3)和点B(2,4)的直线的斜率为(　　) A. B．－ C．7 D．－7 解析：k＝＝7. 答案：C 4．给出下列命题： ①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，为x轴； ④倾斜角为60°的直线有无数条，它们的斜率为. 其中正确命题的序号为________． 解析：由倾斜角的定义可知每条直线都有唯一的倾斜角，①正确；倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，不可能是负角，②不正确；倾斜角为0°的直线有无数条，它们是互相平行的，故③不正确；④正确． 答案：①④ 5．已知A(－1,2)，B(3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则点P的坐标为________． 解析：设P(x，y)，则＝2且＝－2，∴x＝1，y＝6. 答案：(1,6) 授课提示：对应学生用书第34页 探究一　直线的倾斜角问题 [典例1]　(1)如图，△AOB为等腰直角三角形，则直线OA，OB，AB的倾斜角分别为________； (2)直线l经过坐标原点，且倾斜角为120°，若将直线l绕原点逆时针方向旋转30°，得到直线l1，则l1的倾斜角为________． [解析]　(1)因为△AOB为等腰直角三角形，所以∠AOB＝∠ABO＝45°， 因此直线OA的倾斜角为45°，直线AB的倾斜角为180°－45°＝135°， 又直线OB与x轴重合，所以其倾斜角为0°. (2)依题意知，将x轴绕原点逆时针旋转120°时，得到直线l，再逆时针旋转30°得到直线l1，故l1的倾斜角为120°＋30°＝150°. [答案]　(1)45°，0°，135°　(2)150° (1)求直线的倾斜角时，要依据题意画出图形，然后根据直线倾斜角的定义，找出直线向上的方向与x轴正方向的夹角，即得直线的倾斜角． (2)结合图形求倾斜角时，要注意充分运用平面几何中的相关知识，如三角形内角和定理及其推论等． 1．求图中各直线的倾斜角． 解析：(1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的斜倾角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°. (2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°. (3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°. 探究二　求直线的斜率 [典例2]　(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率； (2)已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率； (3)求经过两点A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率． [解析]　(1)直线的斜率分别为k1＝tan 60°＝，k2＝tan 1