启慧·湖南省衡阳市第八中学2020届高三月考试题（三）数学文科（PDF版）

启慧·衡阳市八中 ２０２０ 届高三月考试题（ 三） 文科数学参考答案 一、选择题：本大题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 􀆰 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｃ Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ １０􀆰 【答案】Ｄ 【解析】：环境指数［７，８］在内的“宜居城市” 记为 Ａ１ ，Ａ２ ，Ａ３ ；环境指数在［４，５） 内的“宜居 城市”记为 Ｂ１ ，Ｂ２􀆰 从环境指数在［４，５）和［７，８］ 内的“宜居城市” 中随机抽取 ２ 个市的所 有基本事件是：｛Ａ１ ，Ａ２ ｝，｛Ａ１ ，Ａ３ ｝，｛Ａ２ ，Ａ３ ｝，｛Ａ１ ，Ｂ１ ｝，｛Ａ１ ，Ｂ２ ｝，｛Ａ２ ，Ｂ１ ｝，｛Ａ２ ，Ｂ２ ｝，｛Ａ３ ， Ｂ１ ｝，｛Ａ３ ，Ｂ２ ｝，｛Ｂ１ ，Ｂ２ ｝，共 １０ 个 􀆰 其中，没有 １ 个市的环境指数在［７，８］内的基本事件是：｛Ｂ１ ，Ｂ２ ｝，共 １ 个 􀆰 所以所求的概率 Ｐ ＝ １ － １ １０ ＝ ９ １０ 􀆰 二、填空题：本大题共 ４ 小题，每小题 ５ 分． １３􀆰 【答案】（１，２］ １４􀆰 【答案】ｙ ＝ （２ ＋ ｅ）ｘ － ３ ２ １５􀆰 【答案】３０ 【解析】设 ＣＤ ＝ ｘ 在△ＡＥＤ 中，ＡＥ ＝ １０ ６，ＤＥ ＝ ＤＣ ｓｉｎ６０° ＝ ｘ ｓｉｎ６０° ， ∠ＤＡＥ ＝ ４５°，∠ＡＥＤ ＝ １０５°，∴ ∠ＡＤＥ ＝ ３０° 由正弦定理得 ＤＥ ｓｉｎ∠ＤＡＥ ＝ ＡＥ ｓｉｎ∠ＡＤＥ ，∴ ｘ ｓｉｎ６０° ｓｉｎ４５° ＝ １０ ６ ｓｉｎ３０° ， ∴ ｘ ＝ ３０ １６􀆰 【答案】 １ ２ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １７􀆰 解（１）ｆ（ｘ） ＝ １ ２ （ － ｃｏｓ２ｘ ＋ ３ｓｉｎ２ｘ） ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π６[ ]􀆰 ２ 分…………………… 递增区间：［ － π ６ ＋ ｋπ， π ３ ＋ ｋπ］ ６ 分…………………………………………… １ （２）由（１）知，ｆ（ｘ） ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π６[ ]， ∴ 在△ＡＢＣ 中 ｆ（Ａ） ＝ １，∴ ｓｉｎ ２Ａ － π６[ ] ＝ １， ∴ ２Ａ － π ６ ＝ π ２ ，∴ Ａ ＝ π ３ 又 ｃｏｓＢ ＝ １ ７ ，∴ ｓｉｎＢ ＝ ４ ３ ７ ， ∴ ｓｉｎＣ ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ） ＝ ３ ２ × １ ７ ＋ １ ２ × ４ ３ ７ ＝ ５ ３ １４ ， 在△ＡＢＣ 中，由正弦定理 ｃ ｓｉｎＣ ＝ ａ ｓｉｎ Ａ ，得 １０ ５ ３ １４ ＝ ａ ３ ２ ∴ ａ ＝ １４，∴ ＢＤ ＝ ７􀆰 ８ 分………………………………………………………… 在△ＡＢＤ 中，由余弦定理得， ＡＤ２ ＝ ＡＢ２ ＋ ＢＤ２ － ２ＡＢ·ＢＤｃｏｓＢ ＝ １０２ ＋ ７２ － ２ × １０ × ７ × ｃｏｓＢ ＝ １２９ ， 因此△ＡＢＣ 的中线 ＡＤ ＝ １２９􀆰 １２ 分………………………………………… １８􀆰 【解析】（１）当 ｎ≥２ 时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ４ｎ － ｎ ２ － ［４（ｎ － １） － （ｎ － １）２ ］ ＝ ５ － ２ｎ ，……２ 分 当 ｎ ＝ １ 时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ６，∴ ａｎ ＝ ６，（ｎ ＝ １） ５ － ２ｎ，（ｎ≥２）{ 􀆰 ４ 分………………………… （２） ６ － ａｎ ２ｎ ＋ １{ }的前 ｎ 项和为 Ｔｎ 令 ｂｎ ＝ ６ － ａｎ ２ｎ ＋ １ ＝ ０　 　 　 （ｎ ＝ １） ２ｎ ＋ １ ２ｎ ＋ １ 　 （ｎ≥２）{ ∴ ｎ ＝ １ 时，Ｔｎ ＝ ０ ６ 分…………………………………………………………… ｎ≥２ 时，Ｔｎ ＝ ５ ２３ ＋ ７ ２４ ＋ ９ ２５ ＋ … ＋ ２ｎ － １ ２ｎ ＋ ２ｎ ＋ １ ２ｎ ＋ １ 　 （１） １ ２ Ｔｎ ＝ ５ ２４ ＋ ７ ２５ ＋ ９ ２６ ＋ … ＋ ２ｎ － １ ２ｎ ＋ １ ＋ ２ｎ ＋ １ ２ｎ ＋ ２ 　 （２） ８ 分………………… （１） － （２）得 １ ２ Ｔｎ ＝ ５ ２３ ＋ ２ ２４ ＋ ２ ２５ ＋ … ＋ ２ ２ｎ ＋ １ － ２ｎ ＋ １ ２ｎ ＋ ２ １ ２ Ｔｎ ＝ ５ ８ ＋ ２（ １ ２４ ＋ １ ２５ ＋ … ＋ １ ２ｎ ＋ １ ） － ２ｎ ＋ １ ２ｎ ＋ ２ １ ２ Ｔｎ ＝ ５ ８ ＋ ２· １ ２４ ［１ － （ １ ２ ） ｎ － ２ ］ １ － １ ２ － ２ｎ ＋ １ ２ｎ ＋ ２ ＝ ７ ８ － ２ｎ ＋ ５ ２ｎ ＋ ２ Ｔｎ ＝ ７ ４ － ２ｎ ＋ ５ ２ｎ ＋ １ １０ 分…………………