2019年10月11日 最短路径问题-学易试题君之每日一题君2019-2020学年上学期八年级数学人教版（课堂同步系列一）

10月11日 最短路径问题 中考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆ 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 【参考答案】D 【试题解析】作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选D． 【解题必备】 最短路径问题 1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． 2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 1．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为 A．15° B．22.5° C．30° D．45° 2．如图，在一条河同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A和B的距离之和最短，试确定M的位置． 3．如图，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小． 1．【答案】C 【解析】如图，过E作EM∥BC，交AD于N， ∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE， ∴AM=BM=2，∴AM=AE， ∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC， ∵EM∥BC，∴AD⊥EM， ∵AM=AE，∴E和M关于AD对称， 连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，AC=BC， ∵AM=BM，∴∠ECF= ∠ACB=30°，故选C． 2．【解析】所求点如下图所示： ∵两点之间线段最短， ∴需要能将AM、BM两边转化到一条直线上，∴用轴对称可以办到， 求点M的位置的具体步骤如下： ①作点A关于直线l的轴对称点A′， ②连接A′B交l于点M， ③连接AM， 则点M就是所求作的点，能够使M到A和B的距离之和最短． 3．【解析】（1）作点P关于BC所在直线的对称点P′， （2）连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点（如图所示）． 1 $$