专题08 二次函数与幂函数、函数与方程-巅峰冲刺江苏省2020年高考数学一轮考点扫描（文理通用）

专题08 二次函数与幂函数、函数与方程 【名师预测】 江苏高考对幂函数的要求比较低，近几年在江苏高考中没有涉及，在平时的复习中可以适当的关注，函数与方程的思想是数学四大思想之一，也体现了数形结合的思想，是近几年江苏高考的热点，也是江苏高考的重点，经常体现在填空题的11-14题，或者是函数压轴解答题。高考对函数与方程，函数的零点及函数的性质等是函数重点考查的内容，在平时复习中需重点关注。 【知识精讲】 一、二次函数 1．二次函数的概念：形如的函数叫做二次函数. 2．表示形式 (1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标. (3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标. 3．二次函数的图象与性质 函数解析式 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称性 函数图象关于直线对称 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数. 在上是增函数； 在上是减函数. 最值 当时， 当时， 4．常用结论 (1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根. (2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1−x2|=. (3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0(). 三、幂函数 1．幂函数的概念：一般地，形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数. 2．几个常见幂函数的图象与性质 函数特征性质 图象 定义域 R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 非奇非偶 单调性 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减 公共点 (1,1) 3．常用结论 (1)幂函数在上都有定义. (2)幂函数的图象均过定点. (3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增. (4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减. (5)幂函数在第四象限无图象. 四、函数的零点 1．函数零点的概念：对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．几个等价关系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)=x2＋1，由于方程x2＋1=0无实数根，故该函数无零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程的根. 【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 4．二次函数的零点 二次函数的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 5．常用结论 (1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； (4)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 五、二分法 1．二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c)； a．若f(c)=0，则c就是函数的零点； b．若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))； c．若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε：即若|a−b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④. 【典例精练】 考点一 求二次函数、幂函数的解析式 例1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝________. 例2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x