第四章 相似三角形（基础版）-2019-2020学年九年级数学上学期单元分层复习导学案（北师大版）

第四章 相似三角形单元分层复习导学案（基础版） 一、知识梳理，重点引领 1、相似三角形知识网 2、常见的相似模型 3、变换后的相似模型 二、例、变、拓——复习目标导学 导学目标1 平行线分线段成比例定理 例1（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（　　） A． B． C． D． 变式1（2019•凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO 并延长交BC于E，则BE：EC＝（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 拓展1（2019•广安）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重 心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F. （1）如图1，当EF∥BC时，求证：； （2）如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结 论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. （3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是 否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 图1 图2 图3 【方法技巧点拨一】 1、平行线分线段成比例定理主要指的是位置上的对应，一般常说“上比下=上比下，或上比全=上比全”等，应用时要特别注意； 2、平行线分线段成比例定理常常需要添加辅助线，而辅助线常常是过某一点作一条线段的平行线，如上面的三个问题均有所体现； 3、平行线分线段成比例定理常常与相似三角形或图形的面积相结合，如变式1和拓展1，所以在具体的题目中要针对问题灵活的运用. 导学目标2 相似三角形的判定 例2（2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长． 变式2（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F． （1）求证：EF=AE﹣BE； （2）连接BF，如果．求证：EF=EP． 拓展2（2018•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G． （1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论； （2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值． 【方法技巧点拨二】 1、有平行一般会产生相似三角形，如例2；有垂直往往也会产生相似三角形，如变式2和拓展2；所以在平行四边形和菱形、矩形、正方形中常常与相似三角形息息相关，这样的图形也容易引导我们用相似三角形的有关知识去思考、分析求解； 2、注意相似三角形常见模型的运用，如例2是“X型相似”、变式2和拓展2是“三垂直相似”，解题完成后及时总结可有效帮助我们快速提升数学解题能力. 导学目标3 相似三角形的性质 例3（2018•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 变式3（2018•四川达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（　　） A． B． C． D．1 拓展3（2018•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（　　） A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2 C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2 【方法技巧点拨三】 关于相似三角形性质的应用，要特别注意与其它知识的联系与综合，尤其是题目中出现平行线（或平行四边形、特殊平行四边形等）时，往往首要考虑的是相似（或全等），另外对于解决面积类问题，也常常用到相似的相关知识. 导学目标4 相似三角形的实际应用 例4（2018•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？” 用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于