期末难点突破-2018版九年级上册初三数学同步思维新观察

１５０　　 期末难点突破 突破一 　 圆中的最问题 【方法归纳】解决最值问题常用的方法有:特殊位置与极端位置法,几何公理(定理)法,数形结合法等． １．如图,△ABC中,∠BAC＝６０°,∠ABC＝４５°,AB＝２２,D 是线段BC上的一个动点,以AD 为直 径画 ☉O 分别交AB,AC 于E,F,连接EF,则线段EF 的最小值为 　 ３　． 【解析】作直径EM,连MF,∠M ＝６０°,EF＝ ３ ２EM ＝ ３ ２AD． 要使EF 最小,只需使AD 最 小,故AD⊥BC．∴AD＝２,EF＝ ３． ２．如图,∠MON＝４５°,一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OM,ON 上移动,其中AB＝ １０,那么点O 到顶点A 的距离的最大值为 　１０２　,点O 到AB 的距离的最大值为 　５＋５２　． 【解析】作△ABO的外接圆☉P,易求R＝５２,当OA 为直径时点O到点A 的距离最大,当O 为AOB︵ 的中点时,O 到AB 的距离最大． ３．如图,点C是☉O上一点,☉O的半径为２２,D,E分别是弦AC,BC上一动点,且OD＝OE＝２, 则AB 的最大值为(　A　)． A．２６　　 B．２３ C．２２　　 D．４２ 【解析】以O 为圆心,OD 为半径作圆,当D,E 为切点时,∠ACB 最大,此时AB 最大． ４．如图,P 为☉O内的一个定点,A 为☉O上的一个动点,射线AP,AO分别与☉O交于B,C两点． 若 ☉O 的半径长为３,OP＝ ３,则弦BC 的最大值为(　A　 )． A．２３ B．３　 C．６ D．３２ ５．(２０１８武汉元调)如图,在☉O中,AB︵所对的圆心角∠AOB＝１０８°,点C为☉O上的动点,以AO、 AC 为边构造 ▱AODC．当 ∠A＝　２７　°时,线段BD 最长． １５１　　 突破二 　 利用圆求路径长 【方法归纳】利用点的轨迹,结合圆的性质求路径长． １．(２０１６􀅰武汉)如图,在等腰Rt△ABC中,AC＝BC＝２２,点P在以斜边AB为直径 的半圆上,M 为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M 运动的路径长 是(　B　)． A． ２π B．π C．２２ D．２ ２．如图,在Rt△ABC纸片中,∠C＝９０°,AC＝BC＝４,点P在AC上运动,将纸片沿PB折叠,得到点 C的对应点D(P在C点时,点C的对应点是本身),则折叠过程对应点D 的路径长 是 　２π　． 【解析】∵∠C＝９０°,AC＝BC,∴△ABC是等腰直角三角形,点D的路径是以点B为圆心,以 BC 的长为半径的扇形,路径长 ＝ ９０􀅰π􀅰４ １８０ ＝２π． ３．如图,正方形ABCD 的边长为２,E,F 分别为边AD,CD 上一动点,AE＝DF, BE,AF交于点M,当点E从点A运动到点D时,点M 的运动的路径长是　 π２　． 【解析】易证AF ⊥BE, 故点 M 在以AB 为直径的圆上运动, 路径长为AM︵ 的 长, 即９０π 􀅰１ １８０ ＝ π ２． ４．如图,半径为４的☉O中,CD为直径,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,点E为 ☉O上一动点,CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所 经过的路径长为(　C　)． A．３π B．３２π C． ２３ ３ π D． ３ ３π ５．如图,半径为２cm,圆心角为９０°的扇形OAB 的AB︵上有一运动的点P．从点P 向 半径OA 引垂线PH 交OA 于点H．设△OPH 的内心为I,当点P在AB︵上从点A 运动到点B 时,内心I所经过的路径长为 　 ２π２cm　． 【解析】连OI,PI,AI,∵△OPH 的内心为I,∴∠IOP＝ ∠IOA,∠IPO＝ ∠IPH,∴∠PIO ＝１８０°－∠IPO－∠IOP ＝１８０°－ １ ２ (∠HOP＋∠OPH),而PH ⊥OA,即 ∠PHO ＝ ９０°,∴∠PIO ＝１８０°－ １ ２ (∠HOP＋∠OPH)＝１８０°－ １ ２ (１８０°－９０°)＝１３５°,又 ∵OP ＝OA,OI＝OI,而 ∠IOP ＝ ∠IOA, ∴△OPI≌△OAI,∴∠AIO＝∠PIO＝１３５°,所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为１３５°的一段劣弧上; 过A,I,O 三点作 ☉O′,连O′A,O′O,在优弧OA︵ 取点P,连PA,PO,∵∠AIO ＝１３５°,∴∠APO ＝１８０°－ １３５°＝４５°,∴∠AO′O ＝９０°,而OA ＝２cm,∴O′O ＝ ２ ２OA ＝ ２ ２ ×２＝ ２ ,∴OA︵ 的长 ＝９０×π× ２１８０ ＝ ２π ２ (cm),所以内心I所经过的路径长为 ２π２cm． １５２　　 突破三 　 二次函数与判别式 【方法归纳】唯一问题,即Δ 等于０的问题． １．直线l:y＝mx－m２(m ＞０)与抛物线y＝ax２