专题12 二次函数、幂函数-2020年江苏省高考数学考点探究

专题12 二次函数、幂函数 专题知识梳理 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞)． (－∞，＋∞)． 值域 ． ． 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增． 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减． 对称性 函数的图象关于x＝－对称． 2．幂函数 (1)定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1，1)； ③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上 单调递减． 考点探究 考向1　求二次函数的解析式 【例】已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式的解集为(1，3)． （1） 若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式； （2） 若f（x）的最大值为负数，求实数a的取值范围． 题组训练 1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________． 考向2 求二次函数在给定区间上的最值 【例】设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间上的最大值、最小值分别是M，m，集合A＝{x|f(x)＝x}． (1)若A＝{1，2}，且f(0)＝2，求M和m的值； (2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值． 题组训练 1. 函数f（x）=－x2+4x－1在区间［t，t+1］（t∈R）上的最大值为g(t)． （1） 求g(t)的解析式；（2） 求g(t)的最大值． 2.已知a，t为正实数，函数f(x)＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[－a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为__________． 3.设函数． Ⅰ当时,求函数在上的最小值的表达式． Ⅱ已知函数在上存在零点,,求b的取值范围． 考向3 一元二次方程根的分布 【例】已知方程4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)＝0(m∈R)有一正根和一负根，求实数m的取值范围． 题组训练 1.（易错题）已知关于的方程的两根都要在区间上，求实数a的取值范围． 2.已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程=|a－1|+2的根的取值范围． 考向4 幂函数的图象和性质及其应用 【例】（1）若幂函数为上的增函数,则实数m的值等于______ ． （2）若,则实数a的取值范围是________． 题组训练 1.幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，那么函数f(x)的单调递增区间是__________． 2.已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)<f(10－2a)，则实数a的取值范围为________． 3.已知幂函数f(x)＝(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数． (1)求函数f(x)； (2)讨论F(x)＝的奇偶性． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题12 二次函数、幂函数 专题知识梳理 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞)． (－∞，＋∞)． 值域 ． ． 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增． 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减． 对称性 函数的图象关于x＝－对称． 2．幂函数 (1)定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1，1)； ③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上 单调递减． 考点探