第一讲 等差数列及求和-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第一讲 等差数列及求和 一、知识梳理 1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，则这个数列称为等差数列，这个常数d称为等差数列的公差． 由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项． 2、若等差数列的首项是，公差是，则． 3、通项公式的变形：①；②；③； ④；⑤． 4、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则． 5、等差数列的前项和的公式：①；②． 6、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为，则，且，（其中，） 二、典型例题 例1.在等差数列中，，公差为，前 n项和为，当且仅当 时 取得最大值，则d 的取值范围为________. 答案： 变式1.在等差数列中，且，则在中最大的负数为（ ）[来源:学_科_网Z_X_X_K] A． B． C． D． 答案：C 变式2.记等差数列的前项和为，若，且公差，则当取最大值时，_ 答案：6或7 例2.设是首项为1的正项数列，且则它的通项公式是= 答案： 例3.已知等差数列的前三项依次为，前项和为，且. (1)求及的值； (2)设数列的通项，证明：数列是等差数列，并求其前项和 解：（1）等差数列的前三项依次为，4，， ，解得， 等差数列的首项，公差， 前项之和为，且． ， ， 解得． （2）设数列的通项，则， 前项之和为， ．[来源:学,科,网Z,X,X,K] 例4.等差数列、、与的前n项和分别记为.=，；=，.则的最小值= 解：等差数列，，与的前项和分别记为，，，． 且，；，． ． ． ． 令， ， 当时，． 的最小值为 变式1.设等差数列，的前n项和分别为，若对任意*都有，则＋＝________. 解：由等差数列的性质和求和公式可得： [来源:Z§xx§k.Com] 例5.数列{an}中，，，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）设，求。 解：（1） 为常数列， 是以为首项的等差数列， 设，， ， ． （2），令，得． 当时，；当时，；当时，． 当时，， ． 当时，． 例6.设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是________． 解：设等差数列的公差为，则，，解得， ，． ，当时取等号， 的最大值为121． 例7.一种设备的价值为元，设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元，用表示设备使用的年数，且设备年平均维修、消耗费用与设备年平均价值费用之和为元，当，时，求这种设备的最佳更新年限(使年平均费用最低的) 解：这种设备使用了年，年平均设备维修、消耗费用为 （元． 而年平均设备价值费用为（元． 从而 ，当且仅当，即时等号成立． 当 000， 000时，（年． 因此，这种设备的最佳更新年限为30年． 例8.已知公差不为的等差数列的首项为，前项和为，且数列是等差数列． (1) 求数列的通项公式； (2) 设=，问：(均为正整数，且)能否成等比数列？若能，求出所有的和的值；若不能，请说明理由． 解：（1）设等差数列的公差为， 因为，所以，，从而， ，因为数列是等差数列， 所以，即， 化简得，而，所以； 故； （2）假设存在正整数组和，使、、成等比数列， 则，，成等差数列， 于是， 所以； 易知，满足； 因为，且时，； 数列为递减数列， 于是， 所以，当时，不存在正整数和满足； 综上，当且仅当，时，，，成等比数列． 例9.已知数列{an}满足：，又， （1）求证：数列为等差数列； （2）求． 解：（1）证明：由 及，得， 若存在，则，从而． 以此类推知，矛盾，故． 从而两边同时除以 得，即， 所以 是首项为，公差为 的等差数列． （2）解：由（1）知，， 故． 从而，， ，， 所以． 例10.若以数列{an}中相邻的三项为三边长能构成三角形，则称这个三角形为的“伴生三角形”． （Ⅰ）若公差为2的等差数列的每一项都有“伴生三角形”，求首项的取值范围； （Ⅱ）若（Ⅰ）中的数列的“伴生三角形”中存在直角三角形，求首项的所有可能取值． 解：．由已知，， 故有（恒成立）． ． ．由可知，， 的“伴生三角形”中存在直角三角形，， 故，化为， ，，，或． 首项的所有可能取值是6或4． 三．专题训练[来源:Z.xx.k.Com] 1．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且=，则使得为整数的正整数的个数是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 2．已知数列为等差数列，若，且它的前项和有最大值，则使得的的最大值为（　　） A．14 B．15