第十讲 常用逻辑用语-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第十讲 常用逻辑用语 一、知识点梳理 1.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p⇒ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒ q且q⇒ p 3.简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题p∧q、p∨q、p的真假判断 p q p∧q p∨q p[来源:Zxxk.Com] 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假[来源:学科网ZXXK] 真 4.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题. (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做存在性命题.[来源:Z+xx+k.Com] 5.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，p(x) 6.几点注意 (1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定； (3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”. 二、例题讲解 例1 原命题为“若，n∈N＋，则为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次为________(填“真”、“假”). 答案：解析　从原命题的真假入手，由于＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与其逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则其逆命题、否命题和逆否命题均为真命题. 答案　真，真，真 例2 (1)设向量，，则“”是“”成立的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”). (2)给出下列三个命题： ①“”是“”的充分不必要条件； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“函数为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为________. 答案：解析　(1)∵a∥b⇔sin 2θ＝cos2 θ⇔cos θ(2sin θ－cos θ)＝0⇔cos θ＝0或tan θ＝，∴“a∥b”是“tan θ＝”成立的必要不充分条件. (2)“a>b”是“3a>3b”的充要条件； “α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件；“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件. 例3 设：实数满足，其中，：实数满足若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________. 答案：(1，2] [来源:学&科&网] 例4 (1)已知命题：，命题：，使，则下列命题为真命题的是________. ①p∧q；②p∨(q)；③(p)∧q；④p∧(q). (2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________(填序号). ①(p)∨(q)；②p∨(q)；③(p)∧(q). 答案：(1)③　(2)① 规律方法　若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可. 例5 (1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为________. (2)下列命题： ①，；②，；③；④. 其中假命题的序号为________. 答案： (1)　(2)③ 例6 已知，，若为假命题，则实数的取值范围是________. 答案：[2，＋∞) 三、课堂训练 1.已知：命题“若函数在上是增函数，则”，则下列结论正确的为________(填序号). ①否命题是“若函数在上是减函数，则”，是真命题； ②逆命题是“若，则函数在上是增函数”，是假命题； ③逆否命题是“若，则函数在上是减函数”，是真命题； ④逆否命题是“若，则函数在上不是增函数”，是真命题. 2.“”是“直线l1：与直线平行”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”). 3.设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的________