第十三讲 双曲线-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第十三讲 双曲线 一、知识梳理 1. 双曲线定义 平面内与两个定点的距离之差的绝对值为常数的动点的轨迹叫双曲线，其中两个定点叫双曲线的焦点. 当时， 的轨迹为双曲线 ； 当时， 的轨迹不存在； 当时， 的轨迹为以为端点的两条射线 当没有绝对值时，表示双曲线的一支或一条射线. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 2、 重难点分析 [思想方法] 1.与双曲线－＝1 (a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为－＝ t (t≠0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程. 3.研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. 3.焦点位置的判断 由，分母的符号决定，焦点在分母为正的坐标轴上.例如双曲线， 当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线. [易错防范] 1.双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆. 2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.[来源:学科网ZXXK] 3.双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x. 三、例题讲解 例1 （双曲线的定义及应用）(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________. (2)若双曲线－＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是________ 解答：(1) 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件， 得MC1－AC1＝MA， MC2－BC2＝MB， 因为MA＝MB， 所以MC1－AC1＝MC2－BC2， 即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2， 所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于C1C2. 根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)， 其中a＝1，c＝3，则b2＝8. 故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1). (2) 由题意知c＝＝4，设双曲线的左焦点为F1(－4，0)，右焦点为F2(4，0)，且PF2＝8.当P点在双曲线右支上时，PF1－PF2＝4，解得PF1＝12；当P点在双曲线左支上时，PF2－PF1＝4，解得PF1＝4，所以PF1＝4或12，即P到它的左焦点的距离为4或12. 例2（双曲线的标准方程的求法） (1)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为________. (2)设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________.　 解答： (1)由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝x，因此可得点A的坐标为(a，b). 设右焦点为F(c，0)，由已知可知c＝4，且AF＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有 (c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为－＝1. (2)法一　椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)， 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 根据定义知2a＝|－ |＝4， 故a＝2.又b2＝32－a2＝5， 故所求双曲线的方程为－＝1. 法二　椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，又点