第十四讲 抛物线-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第十四讲 抛物线 一、知识梳理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：MF＝d(其中d为点M到准线的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R[来源:学科网] y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 3.抛物线的焦半径： ①的焦半径；的焦半径； ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. 4. 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1） 以过焦点的弦为直径的圆和准线相切； （2） 设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF； （3） 设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为，若P为的中点，则PA⊥PB； （4） 若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线. （5） AB为抛物线的焦点弦，则， 5. 抛物线的焦点位置判断：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向. 2、 重难点分析 [思想方法] 1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率). 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；|AB|＝x1＋x2＋p； (3)若F为抛物线焦点，则有＋＝. [易错防范] 1.认真区分四种形式的标准方程 (1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式. 三、例题讲解 例1（抛物线的定义及应用） (1)F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，AF＋BF＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为________. (2)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当a＞4时，PA＋PM的最小值是________. 解析　(1)如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，由AF＋BF＝6及抛物线的定义知AD＋BE＝6，所以线段AB的中点到准线的距离为(AD＋BE)＝3.又抛物线的准线为x＝－，所以线段AB的中点到y轴的距离为. (2) 将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，a＞4，所以A在抛物线的外部，如图.由题意知F(1，0)，抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为PN，由定义知，PA＋PM＝PA＋PN－1＝PA＋PF－1.当A，P，F三点共线时，PA＋PF取最小值，此时PA＋PM也最小，最小值为AF－1＝－1. 例2（抛物线的标准方程和几何性质）(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________. (2)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若AF＝3，则△AOB的面积为________. 解析　(1)∵－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2， ∴＝2，即＝＝4，∴＝.[来源:学科网ZXXK] x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，解得p＝8.故C2的方程为x2＝16y. (2) 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如图所示，AF＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2. 设AB的方程为x－1＝ty，由消去x得y2－4ty－4＝0. ∴y1y2＝－4.∴y2＝－， ∴S△AOB＝×1×|y1－y2|＝. 例3（直线与抛物线的位置关系） 已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且AF＝3. (1)求抛物线E的方程； (2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点