2019-2020学年北师大版数学必修一课件+教师用书+分层训练：第3章 §4 4.2　换底公式 (3份打包)

4.2　换底公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能推导出对数的换底公式．(重点) 2．会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点) 1.通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养． 2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养. 换底公式 阅读教材P83～P86有关内容，完成下列问题． 换底公式：logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)． 特别地，logab·logba＝1，logba＝ 思考：换底公式的作用是什么？ [提示]　换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算． 1.的值为(　　) A.　　　　　　 B．2 C. D． B　[＝log39＝2log33＝2.] 2．若log32＝a，则log123可以用a表示为________． ]＝＝　[log123＝ 3．已知log34·log48·log8m＝2，则m＝________. 9　[因为log34·log48·log8m＝2， 所以＝2，·· 化简得lg m＝2lg 3＝lg 9. 所以m＝9.] 4．log29·log34＝________. 4　[log29·log34＝2log23· ＝2log24＝4log22 ＝4.] 利用换底公式化简求值 【例1】　计算：log1627log8132. [思路探究]　在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值． [解]　log1627log8132＝.＝·＝·＝· 1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底． 2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb； loganbm＝logab. 1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)． [解]　原式＝＝ ＝.＝· 用已知对数表示其他对数 【例2】　已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645. [解]　法一：因为log189＝a，所以9＝18a， 又5＝18b， 所以log3645＝log2×18(5×9) ＝log2×1818a＋b ＝(a＋b)·log2×1818. 又因为log2×1818＝ ＝＝ ＝，＝ 所以原式＝. 法二：∵18b＝5， ∴log185＝b， ∴log3645＝＝ ＝＝ ＝ ＝. 法三：∵log189＝a,18b＝5， ∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18， ∴log3645＝ ＝＝ ＝. 用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1(增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2(巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3(注意一些派生公式的使用. 2．(1)已知log142＝a，试用a表示log7. (2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245. [解]　(1)法一：因为log142＝a，所以log214＝. 所以1＋log27＝. 所以log27＝－1. 由对数换底公式， 得log27＝.＝ 所以log.＝7＝2log27＝2 法二：由对数换底公式， 得log142＝＝a.＝ 所以2＝a(log7＋2)， 即log.7＝ (2)因为log245＝log2(5×9)＝log25＋log29＝log25＋2log23，而log52＝b，则log25＝， 所以log245＝2a＋.＝ 对数的实际应用 [探究问题] 1．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y.试写出y关于x的函数关系式． 提示：依题意得y＝a，其中x≥1，x∈N.＝a 2．探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0) 提示：依题意得ax≤⇒x≤a× ⇒x(2lg 3－1)≤－lg 2⇒x≥≈6.572， ∴xmin＝7. 即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下． 【例3】　某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题． (1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式； (2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1.012≈0.005 2，lg 1.2≈0.079 2) [思路探究]　先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值． [解]　(1)由题意y＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x∈N＋)． (2)由100·1.012x＝120，得1.012x＝1.2， ∴