专题2.12 导数与函数的极值、最值-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.12 导数与函数的极值、最值 【考纲要求】 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 【命题趋势】 利用导数求函数的极值、最值是高考中的热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大. 【核心素养】 本讲内容主要考查数学运算和逻辑推理的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．函数的单调性与导数的关系 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔(a，b)上为减函数． 2．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点 (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)开区间上的单调连续函数无最值．, (1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件． (3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验. f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系． (2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数. 【素养清单•常用结论】 (1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开． (2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． (3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取． 【真题体验】 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 2. 【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； （3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤． 3. 【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 4. 【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数. （1）若，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 【考法拓展•题型解码】 考法一　利用导数研究函数的极值 答题模板：利用导数研究函数极值问题的步骤 【例1】 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值． 【例2】 (2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex. (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a； (2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围． 考法二　利用导数研究函数的最值 答题模板：求可导函数f(x)在[a，b]上的最值的基本步骤 (1)求出函数f(x)在区间(a，b)内的所有极值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)． (2)计算函数f(x)在区间[a，b]上的两个端点值f(a)，f(b)． (3)对所有的极值