专题2.13 导数的综合应用-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.13 导数的综合应用 【考纲要求】 1. 利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题． 2．会利用导数解决实际问题. 【命题趋势】 考查导数在研究函数中的应用，并应用导数的方法探求一些与不等式、函数、数列有关的综合问题，综合性较强，常作为压轴题出现，题目难度较大 【核心素养】 本讲内容主要考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。 【真题体验】 1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数. （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线. 2.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 3. 【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； （3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤． 4.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． 5. 【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 6. 【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数. （1）若，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 【考法拓展•题型解码】 考法一　利用导数解决生活中的优化问题 答题模板：利用导数解决生活中的优化问题的步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)． (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题回答解决方案． 注意：解决此类问题要根据实际问题的意义确定函数定义域． 【例1】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 考法二　利用导数研究函数的零点或方程的根 归纳总结： (1)研究函数零点(方程根)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． (2)解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解． 【例2】 (2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)． (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点． 【例3】 (2019·武邑中学调研)已知函数f(x)＝.x2－ax－2的图象过点Ax3－ (1)求函数f(x)的单调增区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围． 考法三　利用导数证明不等式 解题技巧：利用导数证明不等式的解题策略 (1)证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，并同时有F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)． (2)证明f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，并同时有F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x)． (3)在证明过程中，一个重要技巧就是找到函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点，这往往就是解决问题的一个突破口． 【例4】 已知函数f(x)＝xex，g(x)＝. (1)求函数f(x)的极值； (2)当x＞0时，求证：f(x)＞g(x)． 考法四　利用导数研究恒成立或能成立问题 解题技巧：利用导数研究恒成立或能成立问题的方法 (1)由不等式恒成立或能成立求解参数的取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即a≥g(x)恒成立⇔a≥g(x)max；a≤g(x)恒成立⇔a≤g(x)min；定义域内存在x使a≥g(x)成立⇔a≥g(x)min.另外，当参数不宜