专题2.14 定积分与微积分基本定理-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.14 定积分与微积分基本定理 【考纲要求】 1. 了解定积分的实际背景、基本思想及概念． 2．了解微积分基本定理的含义. 【命题趋势】 定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边梯形的面积. 【核心素养】 本讲内容可以突出对数学建模，数学运算，数学抽象的考查. 【素养清单•基础知识】 1．定积分的概念 在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． 2．定积分的性质 (1) f(x)dx(k为常数)；kf(x)dx＝k (2) f2(x)dx；f1(x)dx± [f1(x)±f2(x)]dx＝ (3) f(x)dx(其中a＜c＜b)．f(x)dx＋f(x)dx＝ 求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3(进行计算. 3．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么＝F(b)－F(a)．f(x)dx＝F(x)，即f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x) 4．定积分的几何意义 定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S. ①S＝f(x)dx；f(x)dx－ (x)dx；③S＝f(x)dx；②S＝－ ④S＝ [f(x)－g(x)]dx.g(x)dx＝f(x)dx－ (1(定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负. (2(当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零. 【素养清单•常用结论】 1．常见被积函数的原函数　 (1) (n≠－1)；xndx＝；(2) cdx＝cx (3) ； cos xdx＝sin x；(4) sin xdx＝－cos x (5) .exdx＝ex；(6) dx＝ln|x| 2. 奇函数、偶函数定积分的两个重要结论 设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有： (1)若f(x)是偶函数，则f(x)dx；f(x)dx＝2 (2)若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝0. 【真题体验】 1．若s1＝exdx，则s1，s2，s3的大小关系为(　　)dx，s3＝x2dx，s2＝ A．s1<s2<s3 B．s2<s1<s3 C．s2<s3<s1 D．s3<s2<s1 2.直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 3.已知t>1，若(2x＋1)dx＝t2，则t＝__________. 4.汽车以36 km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－2 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__________m． 【考法拓展•题型解码】 考法一　定积分的计算 答题模板：计算定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数． (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值． 【例1】 计算下列定积分． (1)(sin x－cos x)dx；(－x2＋2x)dx； (2) (3) dx.,)dx； (4) 考法二　定积分的几何意义及应用 归纳总结 (1)利用定积分求平面图形面积的步骤： ①根据题意画出图形； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． (2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程(不等式)求解． 【例2】 (1)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　) A． B．4 C． D．6 (2)(2019·湖南雅礼中学质检)在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为.试求：切点A的坐标和过切点A的切线方程． 考法三　定积分在物理中的应用 归纳总结：定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力