19-20人教A版数学选修1-1（课件+教师用书+作业）：第2章 2.2 2.2.1　双曲线及其标准方程 (3份打包)

2.2　双曲线 2.2.1　双曲线及其标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1.通过双曲线的学习，培养学生直观想象的素养. 2.借助双曲线标准方程的推导，提升数学运算的素养. 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)， 且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ [提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)点M在双曲线的右支上． 2．双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a＞0，b＞0)－ ＝1(a＞0，b＞0)－ 焦点 F1(－c,0)， F2(c,0) F1(0，－c)， F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 1．已知动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线　　　 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 D　[∵|PM|－|PN|＝2＝|MN|， ∴点P在线段MN的延长线上，即点P的轨迹是一条射线．] 2．双曲线＝1的焦距为(　　) － A．3　　 B．4 C．3　　 D．4 D　[c2＝10＋2＝12，所以c＝2.] ，从而焦距为4 3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　) A.＝1 － B.＝1 － C.＝1 －＝1或－ D.＝0 －＝0或－ C　[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.] 对双曲线标准方程的理解 【例1】　已知曲线方程＝1. － (1)若方程表示双曲线，求实数m的取值范围； (2)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围； (3)若方程表示椭圆，求实数m的取值范围． [解]　(1)依题意有(m－1)(m2－4)>0，即(m－1)(m＋2)(m－2)>0，解得－2<m<1或m>2. (2)依题意有解得－2<m<1. (3)依题意有解得1<m<2. 给出方程＝1，则该方程：－ (1(表示双曲线的条件是mn>0； (2(表示焦点在x轴上的双曲线的条件是m>0，n>0； (3(表示焦点在y轴上的双曲线的条件是m<0，n<0； (4(表示椭圆的条件是m>0，n<0. 1．(1)已知双曲线＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　) ＋ A．　　　　　　 B．5 C．7 D． (2)在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆 (1)D　(2)C　[(1)根据题意可知，双曲线的标准方程为.＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝－ (2)方程mx2－my2＝n可化为<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．] ＝1.由mn<0知－ 求双曲线的标准方程 【例2】　根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线，2)； ＝1有相同的焦点，且经过点(3－ (3)过点P且焦点在坐标轴上． ，Q [解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1.－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为×＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－－ (2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，－ ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.　 ① ∵双曲线经过点(3＝1.　 ②－，2)，∴ 由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为＝1.－ 法二：设所求双曲线的方程为＝1(－4<λ<16)．－ ∵双曲线过点(3＝1，－，2)，∴ 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为＝1.－ (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为＝1.－ 1．求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a2，b2的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时