1.4.1 充分条件与必要条件（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教A版

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 课程标准 学科素养 1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解性质定理与充分条件的关系． 3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 通过对充分条件与必要条件的学习，提升“逻辑推理”“数学抽象”的核心素养. [对应学生用书P12] 知识点　充分条件与必要条件 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq.此时我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．[来源:学,科,网Z,X,X,K] (3)几点说明 ①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的． ②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． ③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p⇒q”，即“若p，则q”是否为真命题． [微体验] 1．思考辨析 (1)已知p⇒q，则“若p，则q”是真命题．(　　) (2)已知p⇒q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q.(　　) (3)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”，但即使q成立，p也未必会成立．(　　) (4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．“x＞0”是“x≠0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．以上答案均不正确 A　[当x＞0时一定有x≠0；反之，若x≠0，则不一定有x＞0，故“x＞0”是“x≠0”的充分而不必要条件．] 3．“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的________条件．(填“充分”或“必要”) 解析　若“a＞0，b＞0”则必有“ab＞0”；反之，若“ab＞0”，则不一定有“a＞0，b＞0”，故“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的充分条件． 答案　充分 4．“若p，则q”的逆命题为真，则p是q的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案　必要 [对应学生用书P12] 探究一　充分条件与必要条件的判断 (1)已知p：x＞1，q：x＞2，则p是q的(　　) A．充分条件　　　 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件　 D．以上答案均不正确 (2)判断下列各题中p是q的什么条件． ①p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； ②p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形． (1)B　[因为x＞1x＞2，但x＞2⇒x＞1，所以pq，但q⇒p，所以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件．] (2)解　①由a2＋b2＝0，得a＝b＝0.从而可以推出a＋b＝0.而由a＋b＝0推不出a2＋b2＝0(如a＝1，b＝－1)，所以p是q的充分条件，但不是必要条件． ②由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是矩形”．而由“四边形是矩形”可以推出“四边形的对角线相等”，所以p是q的必要不充分条件． [方法总结] 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论． ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件． ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． (2)命题判断法：①如果命题“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件． ②如果命题“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． [跟踪训练1]　指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； (2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝. 解　(1)∵x2＝2x＋1x＝⇒[来源:学。科。网]，x＝ x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件． (2)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝成立， 反过来，当x－1＝成立时， 可以推出x＝1或x＝2， ∴p既是q的充分条件也是q的必要条件． 探究二　充分条件、必要条件的应用 是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由． 解　4x＋p＜0⇒x＜－. 当－≤－1， ≤－1时，即p≥4时，x＜－ ∴x＜－⇒x＞2或x＜－1. 故当p≥4时，“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的充分条件． [变式探究