2.2 基本不等式（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教A版

2.2　基本不等式 课程标准 学科素养 1．掌握基本不等式(a＞0，b＞0)． ≤ 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 通过对基本不等式和求最值的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. [对应学生用书P22] 知识点1　基本不等式 如果a＞0，b＞0，有叫做正数a，b的几何平均数. 叫做正数a，b的算术平均数，，当且仅当a＝b时，等号成立．其中，≤ 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． [微思考] 2≥ab是等价的吗？ 与≥ 提示：不等价，前者条件是a＞0，b＞0，后者是a，b∈R. 知识点2　应用基本不等式求最值 已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. [微思考] 利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ 提示：三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [对应学生用书P22] 探究一　用基本不等式证明不等式 已知x，y都是正数． 求证：(1)≥2； ＋ (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明　(1)∵x，y都是正数，∴＞0， ＞0， ∴≥2， ＋＝2，即≥2 ＋ 当且仅当x＝y时，等号成立． (2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2＞0， x2＋y2≥2＞0. ＞0，x3＋y3≥2 ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)[来源:学科网] ≥2＝8x3y3， ·2·2 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立． [方法总结] 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． [跟踪训练1]　已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1， 求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc. 证明　(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b) ≥2＝8abc. ·2·2 当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立． 探究二　利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，且＝1，求x＋y的最小值． ＋ 解　方法一：(1的代换)∵＝1， ＋ ∴x＋y＝(x＋y)·. ＋＝10＋ ∵x＞0，y＞0，∴＝6. ≥2 ＋ 当且仅当，即y＝3x时，取等号． ＝ 又＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ＋ ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 方法二：(消元法)由. ＝1，得x＝＋ ∵x＞0，y＞0，∴y＞9. x＋y＝＋1 ＝y＋＋y＝y＋ ＝(y－9)＋＋10. ∵y＞9，∴y－9＞0， ∴y－9＋＝6. ≥2 当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号，此时，x＝4， ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 方法三：(配凑法)由＝1得，y＋9x＝xy， ＋ ∴(x－1)(y－9)＝9. ∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥ 10＋2＝16. 当且仅当x－1＝y－9时取等号． 又∵＝1，∴x＝4，y＝12. ＋ ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. [方法总结] 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即 (1)一正：符合基本不等式成立的前提条件，a＞0，b＞0； ≥ (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 提醒：以上三点缺一不可． 2．若是求和的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式． [跟踪训练2]　(1)已知＝2(x＞0，y＞0)，则x·y的最小值是_________； ＋ (2)设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值为________． 解析　(1)方法一：∵2＝， ≥2＋ ∴ ≤1，∴xy≥6， ≤1，∴ 当且仅当，即x＝2，y＝3时等号． ＝ ∴xy的最小值为6.[来源:学科网ZXXK] 方法二：由＝2得，3x＋2y＝2xy， ＋ ∵x＞0，y＞0，∴3x＋2y≥2，等号在3x＝2y时成立， ∴2xy≥2，∴xy≥6. 由. ，得 ∴xy的最小值为6. (2)由2x＋8y－xy＝0及x＞0，y＞0，得＝1. ＋ ∴x＋y＝(x＋y) ＝＋1