2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教A版

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 课程标准 学科素养 1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 通过对二次函数与一元二次方程、不等式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”“直观想象”的核心素养. [对应学生用书P24] 知识点　一元二次不等式 (1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0. [微思考] 不等式x2－y2＞0是一元二次不等式吗？ 提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．[来源:学科网ZXXK] (2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． (3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等 的实数根 x1，x2(x1＜x2) 有两个相 等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [微体验] 1．不等式(1－x)(3＋x)＞0的解集是(　　) A．{x|－3＜x＜1}　 B．{x|x＜－3或x＞1} C．{x|－1＜x＜3}　 D．{x|x＜－1或x＞3} A　[不等式变为(x－1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜1.] 2．不等式x2－2x－5＞2x的解集是________． 解析　由x2－2x－5＞2x，得x2－4x－5＞0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－5＞0的解集为{x|x＜－1或x＞5}． 答案　{x|x＞5或x＜－1} 3．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为________. 解析　原不等式变形为3x2－5x＋4＜0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4＜0的解集为∅.[来源:学+科+网] 答案　∅ 4．二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________． 解析　由题意得，⇒a＜－1. ⇒ 答案　a＜－1 [对应学生用书P25] 探究一　一元二次不等式的解法 求不等式4x2－4x＋1＞0的解集． 解　因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝， 所以原不等式的解集为. [变式探究]　将本例不等式变为：－x2＋2x－3＞0，求解此不等式的解集． 解　不等式可化为x2－2x＋3＜0. 因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0， 方程x2－2x＋3＝0无实数解， 而y＝x2－2x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集是∅. [方法总结][来源:学科网] 解一元二次不等式的一般步骤： 第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． 第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． 第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． 第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． [跟踪训练1]　求下列一元二次不等式的解集． (1)x2－5x＞6；(2)－x2＋7x＞6. 解　(1)由x2－5x＞6，得x2－5x－6＞0. ∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6， ∴原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}． (2)由－x2＋7x＞6，得x2－7x＋6＜0. ∵x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6， ∴不等式x2－7x＋6＜0的解集为{x|1＜x＜6}． 探究二　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． 解　由根与系数的关系，可得 即 ∴不等式bx2＋ax＋1＞0，即2x2－3x＋1＞0. 由2x2－3x＋1＞0，解得x＜或x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0的解集为. [方法总结] 应用三个“二次”之间的关系解题的思想 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一