3.2.1 第1课时 函数的单调性（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教A版

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第一课时　函数的单调性 课程标准 核心素养[来源:Zxxk.Com] 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 通过对函数单调性的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. [对应学生用书P34] 知识点　函数的单调性 增函数、减函数定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. (3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. [微体验] 1．思考辨析 (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．(　　) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　　) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　　) A．[－4,4]　 B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1]　 D．[－3,4] C　[根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在[－3,1]上单调递增．][来源:Z*xx*k.Com] 3．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是(　　) A．y＝x2－2　 B．y＝ C．y＝1＋2x　 D．y＝－(x＋2)2 C　[y＝x2－2在(－∞，0]上是减函数，y＝在(－∞，0)内是减函数. y＝1＋2x在R上为增函数，所以在(－∞，0)上是增函数. y＝－(x＋2)2在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．] 4．若函数f(x)在R上单调递增，且f(m)<f(n)，则m与n的关系为(　　) A．m>n　 B．m<n C．m≥n　 D．m≤n B　[因为f(x)在R上单调递增，且f(m)<f(n)，所以m<n.] [对应学生用书P35] 探究一　利用定义证明函数的单调性 证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是增函数． 证明　∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋. ＝(x1－x2) ∵x2>x1>1， ∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0. ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是增函数． [变式探究]　判断并证明本例中函数f(x)在(0,1)上的单调性． 解　函数f(x)＝x＋在(0,1)上单调递减．证明如下： ∀x1，x2∈(0,1)，且x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2). ∵0＜x1＜x2＜1， ∴x1－x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0. ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)． ∴函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数． [方法总结] 利用增函数或减函数的定义证明或判断函数单调性的一般步骤 [跟踪训练1]　利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数． 证明　∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝， ＝－ 因为－1<x1<x2，所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0， 所以＞0， 即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． 所以y＝在(－1，＋∞)上是减函数． 探究二　根据函数图象求单调区间 求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调区间． 解　y＝－x2＋2|x|＋3＝ ＝ 函数的图象如图所示： 由图象可以看出，在(－∞，－1]和[0,1]上的图象是上升的，在(－1,0)和(1，＋∞)上的图象是下降的， ∴函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间是(－1,0)和(1，＋∞)．[来源:学科网] [方法总结] 图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象．[来源:学科网ZXXK] (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 提醒：当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． [跟踪训练2]　作出函数y＝|x|(x－1)的图象，并指出函数的单调区间． 解　y＝|x|(x－1)＝图象