3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教A版

第二课时　函数的最大(小)值 课程标准 核心素养 借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义. 通过对函数最大值、最小值的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. [对应学生用书P37] 知识点　函数的最大(小)值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x)≤M. (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值. 如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x)≥M. (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值. [微思考] 若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ 提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是． [微体验] 1．思考辨析 (1)任何函数都有最大(小)值．(　　) (2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．(　　) (3)函数的最大值一定比最小值大．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 D　[∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)<f(0)＝－1.] 3．(多空题)如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则它的最大值是________，最小值是________． 解析　观察函数图象可知，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，最小值是－2. 答案　3　－2 [对应学生用书P38] 探究一　利用函数的图象求最值(值域) 试画出函数f(x)＝x＋|x－1|的图象，并说明最值情况． 解　f(x)＝x＋|x－1|＝图象如图所示． [来源:学科网ZXXK] 由图象可知，f(x)的最小值为1，没有最大值． [方法总结] 　　　　用图象法求最值的3个步骤　　　　 [跟踪训练1]　求函数f(x)＝的最值． 解　函数f(x)的图象如图所示． 由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值． 探究二　利用函数单调性求最值(值域) 已知函数f(x)＝. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值． 解　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下： ∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝， ＝－ 因为－1<x1<x2⇒x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(2)＝， ＝ 最大值f(4)＝.＝ [方法总结] 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． [跟踪训练2]　已知函数f(x)＝＋1. (1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并证明； (2)求f(x)在[1, 3]上的最大(小)值． (1)证明　函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．证明如下： ∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(， ＋1)＝＋1)－( 因为x2>x1>0，所以x1＋ x2>0，x2－ x1>0，(x1x2)2>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数． (2)解　由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上是减函数， 所以当x＝1时，函数f(x)取最大值，最大值为f(1)＝2， 当x＝3时，函数f(x)取最小值，最小值为f(3)＝. 探究三　函数最值的简单应用 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解　(1)由题意得，总成本为20 000＋100x，从而 f(x)＝ (2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000， ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000. 当x>400时，f