3.3 幂函数（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教A版

3.3　幂函数 课程标准 核心素养 通过具体实例，结合图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 通过对幂函数的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. [对应学生用书P42] 知识点1　幂函数概念[来源:Zxxk.Com] 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． [微思考] 幂函数解析式的结构特征是什么？ 提示：有四个特征：(1)指数为常数；(2)底数是自变量，自变量的系数为1；(3)幂xα的系数为1；(4)只有1项． 知识点2　五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞) 上减， 在(－∞，0) 上减 [微思考] 幂函数的图象能经过第四象限吗？ 提示：不能. 在幂函数中，当x>0时，幂函数值大于0，故图象不经过第四象限． [微体验] 1．若幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上是增函数，则(　　) A．α＞0　 B．α＜0 C．α＝0　 D．不能确定 A　[根据幂函数的性质知，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)内恒为增函数．] 2．函数y＝x的图象是(　　) C　[∵函数y＝x>1，故选C．]是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又 3．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 A　[因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1，，1,3. 又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.] 4．下列命题中，不正确的是(　　) A．幂函数y＝x－1是奇函数 B．幂函数y＝x2是偶函数 C．幂函数y＝x既是奇函数又是偶函数 D．y＝x既不是奇函数，又不是偶函数[来源:学,科,网Z,X,X,K] C　[∵x－1＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴D正确．]，∴A正确；(－x)2＝x2，∴B正确；－x＝x不恒成立，∴C不正确；y＝x＝－， [对应学生用书P43] 探究一　幂函数的概念 函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数．试确定m的值． 解　根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1. 解得m＝3或m＝－2. 当m＝3时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上是增函数； 当m＝－2时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3. [互动探究]　在本例中其他条件不变，只把“f(x)是增函数”改为“f(x)是减函数”，又如何确定m的值？ 解　根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1.解得m＝3或m＝－2.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 当m＝3时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上是增函数，不符合题意； 当m＝－2时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数． 故m＝－2.[来源:Z.xx.k.Com] [方法总结] 求幂函数解析式的依据及常用方法 (1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． (2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α. [跟踪训练1]　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 B　[∵y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．] 探究二　幂函数的图象及应用 已知点(在幂函数g(x)的图象上．问当x为何值时： ，2)在幂函数f(x)的图象上，点 (1)f(x)＞g(x)； (2)f(x)＝g(x)； (3)f(x)＜g(x)． 解　设f(x)＝xα，由题意，得()α＝2⇒α＝2. ∴f(x)＝x2. 同理可求，g(x)＝x－2.在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图． 由图象可知， (1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)； (2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1＜x＜0或0＜x＜1时，f(x)＜g(x)． [方法总结] 1．作幂函数图象的原则和方法 (1)原则：作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等． (2)方法：首先作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据奇偶性就可作出幂函数在其定义域内完整的图象． 2．幂函数y＝xα