5.4.3 正切函数的性质与图象（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教A版

5.4.3　正切函数的性质与图象 课程标准 核心素养 借助图象理解正切函数在上的性质. 通过对正切函数的学习，提升“直观想象”“逻辑推理”“数学运算”的核心素养. [对应学生用书P103] 知识点　正切函数的图象与性质 函数y＝tan x(x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z)的图象与性质见下表： 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇 单调性 在开区间 (k∈Z)内都是增函数 [微体验] 1．函数y＝tan的最小正周期是(　　) A．π　　 B．2π　 C．　 D． C　[最小正周期为T＝.]＝ 2．函数y＝－tan x的单调递减区间是________． 解析　因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反， 所以y＝－tan x的单调递减区间为 (k∈Z)． 答案　 (k∈Z) 3．函数y＝|tan x|的周期为________． 解析　作出y＝|tan x|的图象，如图所示． 由图可知，函数y＝|tan x|的最小正周期是π. 答案　π [对应学生用书P103] 探究一　正切函数的周期性与奇偶性 求下列函数的定义域． (1)y＝－tan x)． ；(2)y＝lg( 解　(1)要使函数y＝有意义，[来源:Z,xx,k.Com] 必须且只需 所以函数的定义域为 . (2)因为. －tan x>0，所以tan x< 又因为当tan x＝＋kπ(k∈Z)， 时，x＝ 根据正切函数图象，得kπ－ (k∈Z)， ＜x＜kπ＋ 所以函数的定义域是. [方法总结] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线． [跟踪训练1]　求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域． 解　由题意得即－1≤tan x<1. 在，又y＝tan x的周期为π， 内，满足上述不等式的x的取值范围是 所以函数的定义域是 (k∈Z)． 探究二　正切函数的周期性与奇偶性 (1)函数y＝4tan的周期为________． (2)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝； ②f(x)＝tan. ＋tan (1)解析　由于ω＝3，故函数的周期为T＝.＝ 答案　 (2)解　①由 得f(x)的定义域为 ， 不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数． ②函数定义域为， 关于原点对称， 又f(－x)＝tan＋tan ＝－tan＝－f(x)， －tan 所以函数f(x)是奇函数． [方法总结] 1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法 (1)定义法． (2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系． [跟踪训练2]　(1)函数f(x)＝tan的周期为________． (2)函数y＝sin x＋tan x是________函数．(填“奇”或“偶”) 解析　(1)∵tan， ＝tan 即tan， ＝tan ∴f(x)＝tan. 的周期是 (2)定义域为，关于原点对称， ∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)， ∴函数是奇函数． 答案　(1)　(2)奇 探究三　正切函数的单调性 (1)求函数y＝tan的单调区间； (2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 解　(1)y＝tan ＝－tan， 由kπ－π(k∈Z)， <x<2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－<kπ＋x－< ∴函数y＝tan(k∈Z)．[来源:学科网ZXXK]的单调递减区间是 (2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 又∵<2－π<0. <2<π，∴－ ∵<3－π<0， <3<π，∴－ 显然－， <2－π<3－π<1< 且y＝tan x在内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1. [方法总结] 1．求y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，由kπ－，k∈Z求得x的范围；当ω<0时，可先用诱导公式把ω化为正值．<ωx＋φ<kπ＋ 2．运用正切函数的单调性比较tan α与tan β大小的步骤 (1)利用诱导公式将角α，β转化到同一单调区间内，通常是转化到区间内； (2)运用正切函数的单调性比较大小． [跟踪训练3]　比较tan的大小． 与tan 解　由于tan， ＝－tan ＝－tan，tan＝－tan ＝tan ＝tan 又0<上单调递增， ，而y＝tan