数学建模 建立函数模型解决实际问题-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教A版

指数函数与对数函数 第四章 数学建模　建立函数模型解决实际问题 返回导航 第四章　指数函数与对数函数 数学　必修　第一册　A 一、建立函数模型解决实际问题的步骤 1．观察实际问题，发现和提出问题；2.收集数据；3.分析数据；4.建立模型；5.检验模型；6.求解问题． 二、数学建模活动的要求 1．组建合作团队；2.开展研究活动；3.撰写研究报告；4.交流展示． 三、数学建模的两个案例 案例1　航行问题 甲、乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少？ 返回导航 第四章　指数函数与对数函数 数学　必修　第一册　A 数学建模过程如下： 1．模型准备 (1)题目解读：读懂题意，初步了解问题要求，尤其注意题目中的“名词”、“动词”． (2)背景资料：对问题所属学科进行分类，查阅资料，了解背景知识(物理定律“距离＝速度*时间”)． 返回导航 第四章　指数函数与对数函数 数学　必修　第一册　A 2．模型假设 (1)条件假设：将题目所处环境进行简化，提出简化条件(作出简化假设：船速、水速为常数)． (2)符号假设：建立模型需要的字母、字符进行假设(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速) 说明：假设是在建模最后阶段才能整理出来的． 3．模型建立：根据问题背景，选取适当的数学方法进行建模eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y×30＝750，,x－y×50＝750.)) 4．模型求解：纯数学求解、计算机求解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝5.)) 返回导航 第四章　指数函数与对数函数 数学　必修　第一册　A 5．模型分析解释：分析模型本身的稳定性、收敛性等性质． 对于本问题，由于解是精确解，所以不存在误差，不存在收敛性问题；由于模型是静态的，所以不存在时间稳定性问题；由于模型是连续的，所以解对系数及右端项都是适定的． 答：船速每小时20千米 6．模型检验：与实际数据、客观事实进行对比检验． 返回导航 第四章　指数函数与对数函数 数学　必修　第一册　A 7．模型应用：进行模型应用方面的推广(作出简化假设：船速、水速为常数)(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速)． 解　用 x表示船速，y表示水速，列出方程： (用物理定律“距离＝速度×时间”列出数学式子) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y×30＝750，,x－y×50＝750.))(求解得到数学解答)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝5.)) (回答原问题) 答：船速每小时20千米 返回导航 第四章　指数函数与对数函数 数学　必修　第一册　A 案例2　最佳存款问题 1．问题提出 中国人民银行经过几次调整存款利率，目前银行整存整取的年利率如下表： 一年期 二年期 三年期 五年期 3.00% 3.90% 4.50% 5.00% 现在一位刚升入初一的学生，家长欲为其存10万元，以供6年后上大学使用. 请设计一种存款方案，使6年后所获收益最大，并求出最大收益． 返回导航 第四章　指数函数与对数函数 数学　必修　第一册　A 2．问题分析 问题：10万元资金存储n年后本息和最大的存款策略？(n＝1,2,3,4,5,6) 当n＝1时，存1年定期；当n＝2时，存2年定期；当n＝3时，存3年定期；当n＝4时，存3年定期1次，1年定期1次；当n＝5时，存5年定期；当n＝6时，存3年定期2次． 3．模型假设 假设：(1)存款期限内利率不变；(2)利息按复利计算． 返回导航 第四章　指数函数与对数函数 数学　必修　第一册　A 4．模型建立 设存款数x(元)，收益y(元)，则： 存期 收益y 存入款数 一年期 二年期 三年期 五年期 x 3%x 2×3.9%x ＝7.8%x 3×4.5%x ＝13.5%x 5×5%x ＝25%x 返回导航 第四章　指数函数与对数函数 数学　必修　第一册　A 定期存款年限越长，利率越大． 10万元资金存储6年后本息最大的存款策略：存3年定期2次． 6年后的本息和：10×(1＋3×4.5%)2＝12.882(万元)， 最大收益为：y＝12.882－10＝2.882(万元)． 返回导航 第四章　指数函数与对数函数 数学　必修　第一册　A 练习： 某饲养场每天投入6元资金用于饲养、设备、人力，估计可使一头60 kg重的生猪每天增重2.5 kg. 目前生猪出售的市场价格为12 元/kg，但是预测每天会降低0.1 元，问该场应该在什么时候出售这样的生猪？ 解析　问题分析　投入资金可使生猪体重随时间增长，但售价随时间减少，应该存在一个最佳