专题07 函数的奇偶性和周期性-2020年江苏省高考数学考点探究

专题7 函数的奇偶性和周期性 专题知识梳理 1．奇、偶函数的定义 对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数． 2．奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)． (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__． (4)若函数f(x)是偶函数，则有__f(|x|)＝f(x)__． (5)奇函数在对称区间上的单调性__相同__，偶函数在对称区间上的单调性__相反__． 3．周期性 (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 注1：函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 注2：函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 考点探究 考向1　判断函数的奇偶性 【例】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝(x＋1)； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝； (5)f(x)＝x2－|x－a|＋2． 题组训练 1.下列函数中为偶函数的是________． ①y＝ ②y＝lg|x| ③y＝(x－1)2 ④y＝2x 2.下面的定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是________． 3.（易错题）试判断函数的奇偶性． 考向2 函数奇偶性与单调性的综合应用 【例1】（1）若函数为偶函数,则______． （2）已知偶函数在单调递减,,若,则x的取值范围是______． 【例2】(1) 设函数f(x)＝(x∈R)为奇函数，求实数的值； (2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围． 题组训练 1.设函数为偶函数,则 ______ ． 2.已知是奇函数,且,若,则______． 3.已知是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数a满足,则a的取值范围是______． 4.若函数为奇函数,则的值为______． 5.设为奇函数,a为常数． 求a的值； 判断并证明函数在时的单调性； 若对于区间上的每一个x值,不等式恒成立,求实数m取值范围． 考向3　函数的奇偶性与周期性的综合应用 【例1】定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0，2)时，f(x)＝．求f(x)在[－2，2]上的解析式． 【例2】（2019·江苏卷）设，是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数当时，，其中若在区间上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是______． 题组训练 1.若是周期为2的奇函数,当时,,则______． 2.奇函数的周期为4,且,,则的值为________． 3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________． 4.（拔高题）设函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足： ① f(x1-x2)= (x1≠x2)；② 存在正常数a，使得f(a)=1． 求证：（1） f（x）是奇函数； （2） f（x）是周期为4a的周期函数． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题7 函数的奇偶性和周期性 专题知识梳理 1．奇、偶函数的定义 对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或