专题2.9 函数模型及应用-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.9 函数模型及应用 【考纲要求】 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 【命题趋势】 函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题. 【核心素养】 本讲内容主要考查数学建模、数学运算的核心素养 【素养清单•基础知识】 1．常见的8种函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)； (4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； (5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)； (6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)； (7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)； (8)“对勾”函数模型：y＝x＋(a>0)． (1)形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－]上单调递减．，0)和(0，，＋∞)上单调递增，在[－]和[ ②当x>0时，x＝.时取最大值－2，当x<0时，x＝－时取最小值2 (2)函数f(x)＝，＋∞)内单调递增．]内单调递减，在区间[(a>0，b>0，x>0)在区间(0，＋ 2．三种函数模型的性质 函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 幂函数模型y＝xn(n>0(可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1(时，增长较慢；当n值较大(n>1(时，增长较快. 【真题体验】 1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则x，y最适合的函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：h)的函数关系用图象表示为下图中的(　　) 4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　) A．36万件 B．18万件 C．22万件 D．9万件 【考法拓展•题型解码】 考法一　二次函数模型 误区防范：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题之中． 【例1】 (2019·西北师大附中月考)牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)． (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值； (3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围． 考法二　指数函数、对数函数模型 解题技巧：两种函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借