专题2.5 指数与指数函数-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.5 指数与指数函数 【考纲要求】 1. 了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型． 【命题趋势】 1. 指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查． 2．指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查． 3．指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的单调性、奇偶性、最值等 【核心素养】 本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养 【素养清单•基础知识】 (1)根式的性质 ①(有意义)．)n＝a(a使 ②当n是奇数时，；＝ 当n是偶数时，＝|a|＝ (2)分数指数幂的意义 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键． ①a ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②a ＝ eq \f(1,a) ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　 (3)有理数指数幂的运算性质 ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； ③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 2．指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域为R，值域为(0，＋∞) 图象过定点(0,1) 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数 注意 指数函数y=ax(a>0,且a≠1）的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究. 【素养清单•常用结论】 指数函数图象的特点 (1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”． 【真题体验】 1.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ） 2. 【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10−10.1 3. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（ ） A． B． C． D． 4. 【2017年高考北京理数】已知函数，则（ ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 5．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(1,5)