专题2.6 对数与对数函数-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.6 对数与对数函数 【考纲要求】 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型． 4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1). 【命题趋势】 1.对数式的化简与求值，考查对数的运算法则． 2．对数函数图象与性质的应用，多考查对数函数的定义域、值域、单调性，难度不大． 3．指数函数、对数函数的综合问题，考查反函数的应用，与指数函数、对数函数有关的方程、不等式、恒成立问题，综合性强，难度稍大. 【核心素养】 本讲内容主要考查数学运算和逻辑推理的核心素养 【素养清单•基础知识】 1．对数的概念及运算性质 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：logaN＝b. 指数、对数之间的关系 (1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是； ③底数的对数等于. (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③loga(Nn)＝nlogaN(n∈R)． 2．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). y＝logax的3个特征 (1)底数a>0，且a≠1； (2)自变量x>0； (3)函数值域为R. 3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 图象过定点(1,0)，即恒有loga1＝0 当x>1时，恒有y>0； 当0<x<1时，恒有y<0 当x>1时，恒有y<0； 当0<x<1时，恒有y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a,<1两种情况进行讨论. 4．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【素养清单•常用结论】 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0)．＝ 2．换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)． 3．对数恒等式 a ＝N(a>0且a≠1，N>0)． 4.对数函数图象的特点 (1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y＝logax与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称． (3)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，对数函数的图象呈下降趋势． 【真题体验】 1.【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10−10.1 2.【2018年高考天津理数】已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3. 【2017年高考北京理数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（ ） （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 4. 【2017年高考全国Ⅰ卷理数】设x、y、z为正数，且，则（ ） A．