专题2.1 函数及其表示-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.1 函数及其表示 【考纲要求】 1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段). 【命题趋势】 1. 对函数的基本概念与定义域的考查常与指数函数、对数函数综合出题． 2．考查函数的值域及最值． 3．函数的表示方法，主要考查分段函数求值，或者研究含参数的分段函数问题． 4．函数的新定义问题，主要考查函数的综合知识，以其他知识为背景，分析后仍然用函数知识去解决，此类问题综合性比较强. 【核心素养】 本讲内容主要考查数学运算、数学建模的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．函数与映射的概念 (1)函数：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)映射：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 求函数定义域的策略 (1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域． (3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据. 两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 关于分段函数的3个注意 (1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交． 【真题体验】 1．已知数集A＝{1,2,3,4}，设f：x→y，g：x→y都是由A到A的函数，其对应关系如下表(从上到下)，则与f(g(2))相同的是(　　) 表1　函数f的对应关系 x 1 2 3 4 y 3 4 2 1 表2　函数g的对应关系 x 1 2 3 4 y 4 3 1 2 A．g(f(1)) B．g(f(2)) C．g(f(3)) D．g(f(4)) 2．(2019·齐鲁名校协作体联考)下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝eln x，g(x)＝x B．f(x)＝，g(x)＝x－2 C．f(x)＝，g(x)＝sin x D．f(x)＝|x|，g(x)＝ 3．已知函数f(x)＝，若f(a)＝3，则实数a＝__________. 4．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为__________． 【考法拓展•题型解码】 考法一　求函数定义域 归纳总结 (1)求具体函数y＝f(x)的定义域 (2)求抽象函数的定义域一般有两种情况： ①已知y＝f(x)的定义域是A，求y＝f(g(x))的定义域，可由g(x)∈A求出x的范围，即为y＝f(g(x))的定义域； ②已知y＝f(g(x))的定义域是A，求y＝f(x)的定义域，可由x∈A求出g(x)的范围，即为y＝f(x)的定义域． 【例1】 (1)y＝－log2(4－x2)的定义域是(　　) A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2) C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2] (2)若函数f(x)＝的定义域为实数集，则实数m的取值范围是__________． 【例2】 (1)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为__________． (2)已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是__________． 考法二　求函数解析式 解题技巧:函数解析式的常见求法 (1)配凑法：已知f(h(x